Logarithmusgleichung lösen - Beispiel 4: log₄(x+150) + log₄(x-5) = 3

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Folgende Schritte sind zum Lösen dieser Logarithmusgleichung notwendig:

\( \log_{4}(x+150) + \log_{4}(x-5) = 3 \)

1. Wir nutzen wir die Logarithmusregel \( \log_{a} x + log_{a} y = log_{a} (x⋅y) \):

\( \log_{4}(x+150) + \log_{4}(x-5) = 3 \\ \log_{4}( (x+150)·(x-5) ) = 3 \)

2. Wir multiplizieren die Terme im Numerus aus:

\( \log_{4}( (x+150)·(x-5) ) = 3 \\ \log_{4}( (x·x - 5·x + 150·x - 150·5) ) = 3 \\ \log_{4}( x^2 + 145·x - 750 ) = 3 \)

3. Wir exponieren beide Seiten mit der Basis des Logarithmus, also 5:

\( \log_{4}( x^2 + 145·x - 750 ) = 3 \quad | \color{#00F}{4}^{\{\}} \\ 4^{ \log_{4}( x^2 + 145·x - 750 ) } = 4^{3} \)

4. Jetzt nutzen wir die Logarithmusregel \( a^{\log_{a} \color{#F00}{x}} = \color{#F00}{x} \):

\( 4^{ \log_{4}( x^2 + 145·x - 750 ) } = 64 \\ (x^2 + 145·x - 750) = 64 \)

5. Abschließend die Gleichung auflösen und den Wert für x bestimmen:

\( (x^2 + 145·x - 750) = 64 \quad |-64 \\ x^2 + 145·x - 750 - 64 = 0 \\ x^2 + 145·x - 814 = 0 \quad | \text{ p-q-Formel} \\ x_{1,2} = -( \frac{145}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{145}{2} )^{2} - (-814) } \\ x_{1,2} = -( \frac{145}{2} ) \pm \sqrt{ 6070,25 } \\ x_{1,2} = -72,5 \pm 77,92 \\ x_1 = 5,42 \\ x_2 = -150,42 \)

Die Probe des Ergebnisses \( x_1 = 5,42 \):

\( \log_{4}(x+150) + \log_{4}(x-5) = 3 \quad | x = 5,42 \\ \log_{4}(5,42+150) + \log_{4}(5,42-5) = 3 \\ \log_{4}(155,42) + \log_{4}(0,42) = 3 \quad | \text{ log berechnen mit Taschenrechner } \\ 3,63 + (-0,63) = 3 \quad \color{#00F}{\text{✓}} \)

\( x_1 = 5,42 \) ist Lösung der Gleichung.

Die Probe des Ergebnisses \( x_2 = -150,42 \):

\( \log_{4}(x+150) + \log_{4}(x-5) = 3 \quad | x = -150,42 \\ \log_{4}(-150,42+150) + \log_{4}(-150,42-5) = 3 \\ \log_{4}(-0,42) + \log_{4}(-155,42) = 3 \\ \rightarrow \log_{4}(-155,42) \text{ ist nicht definiert } \)

\( x_2 = -150,42 \) ist keine Lösung der Gleichung.

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