Anwendungen des Logarithmus

Logarithmen könnt ihr bereits im Alltag entdecken, sie sind vor euren Augen: Der pH-Wert (siehe Berechnungen unten) und die Dezibel-Skala. Oder benutzt sie einfach, wenn es um eure Finanzplanung geht, wie beim Zinseszins gezeigt.

Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen. Der Grund hierfür: Wenn wir 10x in einem Koordinatensystem einzeichnen, kommt es entlang der y-Achse schnell zu Problemen, da die Werte riesig werden. Mit jedem +1 auf der x-Achse (für den Exponenten) erhöht sich der Wert enorm. 102 = 100, doch 106 = 100 000. Daher verwendet man eine logarithmische Darstellung. Anstatt 10x nutzt man also log x für die Einteilung der y-Achse. Dadurch kann man bequem (wie im Beispiel) nur die 2 und die 6 auf der y-Achse abtragen.

Anwendungsbeispiel: Ph-Wert und Logarithmus

Beim ph-Wert (Abkürzung für potentia hydrogenii = (lat.) Fähigkeit des Wasserstoffs) betrachtet man Konzentrationen zwischen 0 (sauer) und 14 (alkalisch) als Maß für den Charakter einer wässrigen Lösung. Die Skala 0 bis 14 gibt Logarithmenwerte wieder, und zwar gemäß der Formel:

ph-Wert = -log10[H+]

bzw. allgemein mit: y = -log10x

Hierbei handelt es sich um extrem kleine Werte, die sich mit Hilfe des Logarithmus besser voneinander unterscheiden lassen.

Wir können die gegebene Formel wie folgt nach x (also H+) umstellen:

y = -log10x       |·(-1)
-y = log10x       | 10 hoch
10-y = 10log10x    | Regel: alogax = x
10-y = x
x = 10-y

Zum Beispiel hat Essig einen ph-Wert von 2,5, das heißt:

x = 10-y    | y=2,5
x = 10-2,5
x ≈ 0,00316227766016838 = H+

Wie wir sehen, können wir statt 0,00316227766016838 einfach ph-Wert = 2,5 schreiben, was wesentlich einfacher zu lesen und zu merken ist.

Wie wir an der folgenden Tabelle sehen, wird die Unterscheidung durch die ph-Werte erleichtert.

Der minimale ph-Wert ist 0, also die Konzentrationsangabe H+ = 100 = 1.
Der maximale ph-Wert ist 14, also H+ = 10-14 = 0,00000000000001.

Beispiel für ph-Werte

Substanzph-Wert H+
Zitronensaft 2,4 10-2,4 ≈ 0,004
Wein 4,0 10-4,0 = 0,0001
Bier 5,0 10-5,0 = 0,00001
Milch 6,5 10-6,5 = 0,0000003
Seife 10,0 10-10,0 = 0,0000000s001

Zusätzlich ist interessant zu wissen, dass unsere Wahrnehmung nicht "linear" funktioniert, vielmehr "logarithmisch". Wie beim Dezibel (Einheit für die Lautstärke): Ein Ton wird von uns nicht doppelt so laut wahrgenommen, wenn seine Lautstärke verdoppelt wird. Nein, man muss ihn um ein Vielfaches erhöhen! Gleiches gilt übrigens auch fürs Licht. Verdoppeltes Licht (also zwei Lichtquellen) erzeugen für unsere Wahrnehmung kein doppelt so helles Licht.

Anwendungsbeispiel: Große Zahlen vergleichen

Wenn wir beispielsweise bestimmen sollen, ob 99100 größer oder kleiner ist als 10099, dann stößt unser Taschenrechner an seine Grenzen, da die Zahlen viel zu groß sind und nicht in den Speicher passen. Abhilfe schafft hier der Logarithmus, mit dem wir den Vergleich wie folgt führen können:

99100       ☐ 10099              | Logarithmus auf jeden Term anwenden
log 99100   ☐ log 10099      | Logarithmusregel: Exponent nach vorne in Multiplikation
100·log 99 ☐ 99·log 100   | jetzt in den Taschenrechner eingeben (Ergebnisse gerundet)
199,56     ☐ 198              | wir erkennen, der Linksterm ist größer
199,56     > 198             | damit gilt auch:
99100      > 10099

So hilfreich kann der Logarithmus sein.