Mathe G26: Quadratische Gleichungen

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Laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

Die quadratischen Gleichungen haben viel mit den quadratischen Funktionen zu tun. Was der Unterschied ist, das sehen wir uns im ersten Video an. Dort betrachten wir uns auch die Linearen Gleichungen. Danach klären wir, was eine Quadratische Gleichung ist, wie diese Gleichungen aufgebaut sind und mit welchen Lösungsverfahren wir sie lösen können.

G26-2 Quadratische Gleichungen - Einführung

Was sind Quadratische Gleichungen, Allgemeinform und Normalform, Quadratisches Glied, Lineares Glied, Absolutes Glied, Koeffizienten, Lösen einer quadratischen Gleichung mit Hilfe der p-q-Formel, Lösen der Gleichung mittels Deutung als Funktion.

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Wissen zur Lektion

Was sind quadratische Gleichungen?

Quadratische Gleichungen definieren sich über den höchsten Grad eines Polynoms, der 2 beträgt. Ein Polynom ist ein Term in der Form an·xn + ... + a3·x3 + a2·x2 + a1·x1 + a0·x0. So ist die allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung die folgende:

$$a·x^{\color{red}2} + b·x^1 + c·x^0 = 0$$ $$a·x^{\color{red}2} + b·x + c = 0 \quad|\text{Allgemeinform}$$

Oft erweist es sich als nötig (für die pq-Formel beispielsweise) diese Allgemeinform in die sogenannte "Normalform" zu überführen:

$$x^2 + p·x + q = 0 \quad|\text{Normalform}$$

Die Buchstaben a, b, c, p und q bei beiden Formen oben sind dabei sogenannte Parameter. Es wird oft erklärt "beliebig, aber fest", das heißt, hat man sich einmal einen Parameter gewählt, dann bleibt er so wie er ist und ändert nicht mehr seinen Wert. Da die Parameter hier außerdem den Variablen vorgestellt sind, tragen sie die Bezeichnung "Koeffizienten". Einen speziellen Namen hat der Koeffizient a - das ist der Leitkoeffizient, denn er bestimmt meist den Werteverlauf.

Ansonsten werden die Summanden nach ihrem Grad benannt. Der erste Summand ist das quadratische Glied, der zweite Summand ist das lineare Glied und der Koeffizient ohne x (bzw. x0 was nichts anderes als 1 ist und deshalb nicht geschrieben wird) ist das konstante Glied oder Absolutglied.

Lösen einer quadratischen Gleichung

Wir lösen als nächstes eine quadratische Gleichung, das heißt, wir suchen die Werte für die (noch) Unbekannte x, für die die Gleichung erfüllt ist (also richtig ist). Dabei gibt es allerlei Hilfsmittel angefangen bei der pq-Formel und abc-Formel oder auch dem Wurzelziehen und Ausklammern. Bekannt sind diese Verfahren auch aus der Nullstellenbestimmung von quadratischen Funktionen (Lektion F06). Nichts anderes stellt eine quadratische Gleichung dar. Eine quadratische Funktionsgleichung wird mit einer anderen gleichgesetzt und der Schnittpunkt bestimmt. Steht rechts eine 0, dann ist das nichts anderes als die Bestimmung der Nullstellen. Wie ihr euch sicher erinnert gibt es für quadratische Gleichungen drei Möglichkeiten einer Lösung. Entweder gibt es zwei unterschiedliche Lösungen. Es gibt eine doppelte Lösung, oder gar keine. Je nachdem wie die Parabel im Koordinatensystem liegt.

abc-Formel (Mitternachtsformel)

Die abc-Formel, auch bekannt als "Mitternachtsformel", ist wohl die allgemeinste Form eine quadratische Gleichung zu lösen. Das einzige was getan werden muss, ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen. Liegt diese vor, so kann die abc-Formel verwendet werden, sie lautet:

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \quad|\text{abc-Formel}$$

Das heißt, man nimmt die Koeffizienten der Allgemeinform und setzt sie in obige Formel ein. Das berechnete Ergebnis ist die Lösung der quadratischen Gleichung. Ein Beispiel soll dies veranschaulichen, es sei zu lösen:

$$3·x^2+3·x = 18$$

Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.

$$3·x^2+3·x-18 = 0$$

Nun wird die obige Formel herangezogen und eingesetzt. Es ist a = 3, b = 3 und c = -18.

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \quad|a=3, b=3, c=-18$$ $$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4·3·(-18)}}{2·3} $$ $$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+216}}{6} $$ $$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{225}}{6}$$ $$x_{1,2} =\frac{-3\pm15}{6}$$

Nun das doppelte Vorzeichen berücksichtigen. Wir haben also zwei Lösungen, wobei bei jeder Lösung mit einem anderen Vorzeichen gerechnet wird.

$$x_1 = \frac{-3+15}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-3-15}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$

Schon haben wir die beiden Ergebnisse \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\).

Zur Erinnerung: Im Video Teil 4 haben wir die abc-Formel als Alternative zur pq-Formel kennengelernt.

pq-Formel

In der Schule häufiger gelehrt als die abc-Formel wird die sogenannte pq-Formel. Hier ist es zwingend notwendig, dass der Vorfaktor von x² die 1 ist, also 1·x². Das heißt man muss eine quadratische Gleichung auf Normalform bringen, bevor man die pq-Formel anwenden darf. Die pq-Formel lautet:

$$x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$

Nehmen wir wieder obiges Beispiel, daran kann die Anwendung der pq-Formel verdeutlich werden. Es sei zu lösen:

$$3·x^2+3·x = 18$$

Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.

$$3·x^2+3·x-18 = 0$$

Nun liegt die quadratische Gleichung noch nicht in Normalform vor. Es wird mit 3 dividiert um dies zu erreichen.

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Nun können p = 1 und q = -6 identifiziert werden und sie in die Formel einsetzen:

$$x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$ $$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac12\right)^2 - (-6)}$$ $$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6}$$ $$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{4}}$$ $$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$$ $$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac52$$

Nun wird wiederum das doppelte Vorzeichen betrachtet:

$$x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2$$ $$x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3$$

Das entspricht genau den obigem errechneten Ergebnis. Dies kann natürlich auch durch eine Probe verifiziert werden, also die x-Werte werden in die Ausgangsgleichung eingesetzt und überprüft ob man eine wahre Aussage erhält.

Lösen mit Binomischen Formeln

Eine weitere Möglichkeit, eine quadratische Gleichung zu lösen, ist über die binomischen Formeln möglich. Hat man eine solche vorliegen und rechts steht eine 0, dann kann man direkt die Lösungen ablesen. Beispielsweise:

$$x^2+2x+1 = 0$$ $$(x+1)^2 = 0$$

Hier sind die Lösungen \(x_{1,2} = -1\), denn dann ist die linke Seite 0. Sieht man dies nicht sofort, so kann man auch schreiben \((x+1)^2 = (x+1)·(x+1) = 0\). Hier hat man zwei Faktoren, die man nun je für sich anschauen kann. Wir haben zweimal denselben Faktor (x+1) also erhalten wir auch zweimal dieselbe Lösung. Man spricht von einer doppelten Lösung.

Lösen durch Ausklammern (kein Absolutglied)

Hat mein eine quadratische Gleichung vorliegen, die kein Absolutglied besitzt, also eine quadratische Gleichung ohne konstantes Glied, dann wird man die pq-Formel oder abc-Formel umgehen und die Gleichung schneller lösen können, indem man einfach ausklammert. Das so entstandene Produkt kann man sich dann faktorweise anschauen. Demzufolge können alle Gleichungen der Form a·x² + b·x = 0 auch ausgedrückt werden über x·(a·x+b) = 0. Somit ist die Lösung x1 = 0 direkt zu erkennen, wenn man sich den ersten Faktor anschaut. Die zweite Lösung x2 = -b/a ergibt sich aus der Betrachtung der Klammer, also dem zweiten Faktor.

Beispiel:

$$x^2+645·x = 0$$ $$x·(x+645) = 0$$

Damit ist \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -645\), denn genau dann wird mindestens ein Faktor 0 sein und damit auch das Produkt.

Lösen durch Wurzel ziehen (kein lineares Glied)

Liegt die quadratische Gleichung in der Form a·x² - c = 0 vor, also ohne lineares Glied, so kann zum Lösen das Wurzel ziehen herangezogen werden. Dafür wird das c auf die andere Seite gebracht, durch a dividiert und die Wurzel gezogen.

$$a·x^2 - c = 0\quad|+c$$ $$a·x^2 = c\quad|:a$$ $$x^2 = \frac ca \quad|\text{Wurzel ziehen}$$ $$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac ca}$$

Es ist darauf zu achten, dass es beim Wurzel ziehen zwei Lösungen gibt. Es muss als ein doppeltes Vorzeichen gesetzt werden. Zur Erinnerung: Bei bspw. \(x^2 = 4\) haben wir nicht nur die offensichtliche Lösung \(x_1 = 2\), sondern auch die negative Lösung \(x_2 = -2\), denn beim Quadrieren wird ja das Minus aufgehoben.

Beispiel:

$$4\cdot x^2 - 64 = 0\quad|+64$$ $$4\cdot x^2 = 64 \quad|:4$$ $$x^2 = 16 \quad|\text{Wurzel ziehen}$$ $$x_{1,2} = \pm4$$

Es ergeben sich also die Lösungen \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\).

Weitere Verfahren

Es gibt noch einige weitere Verfahren um quadratische Gleichungen zu lösen, die hier aber nicht weiter vorgestellt werden sollen, da sie aus anderen Lektionen bereits bekannt sind. Erwähnt seien hierbei noch der "Satz von Vieta" sowie die "Quadratische Ergänzung", beide Verfahren werden in Lektion F06 Quadratische Funktionen behandelt.

Gemischtquadratische Gleichungen

Der Begriff gemischt-quadratische Gleichungen meint ganz einfach Quadratischen Gleichungen in der Normalform mit x² + p*x + q = 0. Diese Gleichungen können wir, wie wir in den Videos gesehen haben, schnell mit Hilfe der pq-Formel lösen.

Seht euch in diesem Zusammenhang auch die Lektion F06 Quadratische Funktionen an. Dort betrachten wir uns u. a. die allgemeine Form, den Satz von Vieta und die Linearfaktoren.

Mathe-Programme

Im Folgenden findet ihr ein Programm zu den Quadratischen Gleichungen, das euch hilft, die Lösungen eurer Hausaufgaben zu kontrollieren:

  • Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Quadratische Gleichungen und p-q-Formel
    Dieses Programm löst beliebige quadratische Gleichungen mit Hilfe der p-q-Formel, inklusive Rechenweg.

NEU: Quadratische Gleichung online berechnen | Formelsammlung 3.0

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Quadratischen Gleichungen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Nutze die abc-Formel oder pq-Formel zur Lösung der Gleichungen

a) 3x² - 3x - 18 = 0

b) 5x² - 25x + 30 = 0

c) 12x² - 12 = 0

d) x² + 0,2x = 6,75

e) 2x² - 10,4x + 11,9 = 0

B: Nutze die binomischen Formeln zur Lösung der Gleichungen

a) x² + 12x + 36 = 0

b) 4x² + 12x = -9

c) 4 - x² = 0

d) 1 - 36x² = 0

e) x² - 24x + 144 = 0

C: Klammere sinnvoll aus, um die Gleichungen zu lösen

a) x² - 12x = 0

b) 3x² - 27x = 0

c) 2a² - a = 0

d) 27d² + 108d = 0

e) 17x² - 17 = 0

D: Ziehe die Wurzel, um die Gleichungen zu lösen

a) 36x² - 36 = 0

b) 12x² - 24 = 0

c) 12x² + 24 = 0

d) 12x² - 12x = 12 - 12x

e) x² = 1

E: Löse die Gleichungen

a) x² + 4 = 0

b) (x+3)² = 4

c) 4x-2x² = 2

d) 12x² - 144x = -432

e) (x-2)² = 0

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Tags: p-q-Formel als kleine Lösungsformel, abc-Formel als große Lösungsformel, Allgemeinform und Normalform, normierte quadratische Gleichungen, pq-Form

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