Ableitung inverser Funktionen
Ist die Ableitung einer Originalfunktion zu einer Umkehrfunktion bekannt, kann daraus die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen werden.
Zunächst sei festgehalten, dass die Steigungen der Tangenten einer Funktion, die hier mit m angegeben sei, gleich dem Kehrwert der Steigung der inversen Funktion bei gleichem x ist.
Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Tangente der Originalfunktion \(f\left( x \right)\) proportional zu \(y \sim m \cdot x\) ist. Werden nun x und y vertauscht, ergibt sich die Tangente der Umkehrfunktion \({f^{ - 1} }\left( x \right)\) zu \(x \sim \frac{1}{m} \cdot y\), also reziprok zur Steigung der Originalfunktion.
Zu der gleichen Aussage gelangt man durch formale Umstellung des Differenzialquotienten:
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } \) Gl. 68
Beispiel 1:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \arcsin \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = \sin \left( x \right)\). Die erste Ableitung lautet \( y' = \cos \left( x \right) \).
Lösung:
Zur Ableitung der Funktion \( y = \arcsin \left( x \right) \) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte sin-Funktion:
\( x = \sin \left( y \right)\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = \cos \left( y \right) \)
Einsetzen in Gl. 68
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ {\cos \left( y \right)} } \)
Anwendung des trigonometrischen Pythagoras
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - { {\sin}^2}\left( y \right)} } } \)
Rücksubstitution
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - {x^2} } } } \)
Beispiel 2:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = {e^x}\). Die erste Ableitung lautet \(y' = {e^x}\).
Lösung:
Zur Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte Exponential-Funktion:
\(x = {e^y}\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = {e^y}\)
Einsetzen in Gl. 68
\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ { {e^y} } }\)
Rücksubstitution
\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{x}\)