Herleitung der Differenziationsregeln

Lesedauer: 10 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Differentiation ist eine Rechenvorschrift zur Ermittlung von Gradienten (Steigungen) von Funktionen an einer vorgegebenen Stelle ihres Definitionsbereiches.

Die Steigung einer Funktion ist durch den Quotienten einer Differenz von Funktionswerten zu einer Differenz der zu diesen Funktionswerten gehörenden Werten des Definitionsbereiches gegeben. Dabei wird die Steigung als Tangens des Steigungswinkels dargestellt:

\( \tan \alpha = \frac{ {f\left( { {x_2} } \right) - f\left( { {x_1} } \right)} }{ { {x_2} - {x_1} } } = {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } \) Gl. 30

Wird eine Gerade durch die Punkte der Kurve, die durch die Werte x1 und x2 vorgegeben sind, entsteht eine Sekante zu der Kurve in diesen Punkten. Diese Sekante gibt aber nur näherungsweise den Winkel der gesuchten Tangente wider. Denn der wirkliche Wert der Steigung ist durch den Winkel einer an den interessierenden Punkt angelegten Tangente exakter beschrieben, als wenn nur der Winkel einer Sekante ermittelt wird. Denn der Steigungswinkel der Sekante ist stark abhängig von der Wahl der beiden Punkte x1 und x2. Darum ist der Übergang von einer Sekante zu einer Tangente zu vollziehen.

Am in Abbildung 11 gezeigten Beispiel wird deutlich, wie stark die durchschnittliche Steigung von der Steigung in einem bestimmten Punkt der Funktion abweichen kann.

Vorausgesetzt, die Funktion ist an der Stelle stetig, an der die Steigung ermittelt werden soll, kann durch Verkleinern des Abstandes zwischen den beiden Punkten x2 - x1 = Δx eine zunehmende Verbesserung der Steigungsmessung erreicht werden (Abbildung 12).

Abbildung 11 Weg-Zeit-Diagramm - Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Abbildung 11: Weg-Zeit-Diagramm - Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Abbildung 12 Sekante und Tangente für Steigungsmessung
Abbildung 12: Sekante und Tangente für Steigungsmessung

Folglich ist mit der Vollziehung des Grenzübergangs Δx→0 der Übergang von der Sekante zur Tangente erreicht.

\( \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y} }{ {\Delta x} } \) Gl. 31

Der Grenzwert des Differenzquotienten \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y} }{ {\Delta x} }\) wird als Differentialquotient \(\frac{ {dy} }{ {dx} }\) (lies: „dy nach dx“) bezeichnet. Die so gefundene neue Funktion wird auch Ableitung der Funktion f genannt und mit f’ bezeichnet:

\(f'(x) = y' = \frac{ {dy} }{ {dx} }\) Gl. 32

Da solche Ableitungen durchaus auch mehrfach erfolgen können, spricht man bei Gl. 31 von der 1. Ableitung. Die 2., 3. oder n-te Ableitung wird durch entsprechend viele Striche seitlich des Funktionssymbols gekennzeichnet.

Handelt es sich um Zeitfunktionen, die nach der Zeitgröße differenziert wurden, wird die Ableitung durch einen Punkt (ggf. auch mehrere Punkte) über dem Funktionssymbol gekennzeichnet:

\(\dot y = \frac{ {dy} }{ {dt} }\) Gl. 33

Beispiel 1:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = {x^2}\) Gl. 34

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { { {\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - {x^2} } }{ {\Delta x} }\) | Binomische Formel

\(\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {x^2} + 2x \cdot \Delta x + \Delta {x^2} - {x^2} } }{ {\Delta x} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {2x \cdot \Delta x + \Delta {x^2} } }{ {\Delta x} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)\) | Δx kürzen

⇒ \(\frac{ {dy} }{ {dx} } = 2x\) Gl. 35

Beispiel 2:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \sin (x)\) Gl. 36

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (x + \Delta x) - \sin (x)} }{ {\Delta x} }\)

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (x)\cos (\Delta x) + \sin (\Delta x)\cos (x) - \sin (x)} }{ {\Delta x} }\) | Additionstheoreme

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin(x)\left[ {\cos (\Delta x) - 1} \right] + \sin (\Delta x)\cos (x)} }{ {\Delta x} } \)

\( \text{da } \left| {\sin (\Delta x)} \right| > > \left| {1 - \cos (\Delta x)} \right|\) \(y' = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (\Delta x)\cos(x)} }{ {\Delta x} }\)

siehe Grafik:

Ableitung sin(x)

unter Anwendung von Gl. 28

\( y' = \cos (x)\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (\Delta x)} }{ {\Delta x} } = \cos (x) \cdot 1 \)

\( ⇒ \frac{ {dy} }{ {dx} } = \cos (x) \) Gl. 37

Beispiel 3:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = {e^x}\) Gl. 38

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {e^{x + \Delta x} } - {e^x} } }{ {\Delta x} } \)

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {e^x}({e^{\Delta x} } - 1)} }{ {\Delta x} } = {e^x}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {({e^{\Delta x} } - 1)} }{ {\Delta x} } = {e^x} \cdot 1 \) | siehe Gl. 26

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = {e^x}\) Gl. 39

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