Logarithmische Differenziation
In manchen Fällen können Funktionen nicht direkt differenziert werden, sondern müssen über den Umweg einer vorherigen Logarithmierung gelöst werden.
Gegeben sei \(y = f(x)\) und \(y'\) sei gesucht.
Logarithmieren der gegeben Funktion führt auf
\(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right)\) Gl. 65
Die neue Funktion wird nun nach der Kettenregel abgeleitet:
\(g'\left( x \right) = \frac{1}{ {f\left( x \right)} } \cdot f'\left( x \right)\) Gl. 66
Auflösen nach der gesuchten Ableitung
\(f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)\) Gl. 67
ergibt die gesuchte Ableitung.
Beispiel:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion
\(y = {x^x}\)
Lösung:
Logarithmierung \(g(x) = x \cdot \ln \left( x \right)\)
Einsetzen in Gl. 67
\( f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) = {x^x} \cdot \frac{d}{ {dx} }\left( {x \cdot \ln \left( x \right)} \right) \)
Anwendung der Produktregel
\(f'\left( x \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + \frac{x}{x} } \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + 1} \right)\)