Logarithmische Differenziation

Lesedauer: 2 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

In manchen Fällen können Funktionen nicht direkt differenziert werden, sondern müssen über den Umweg einer vorherigen Logarithmierung gelöst werden.

Gegeben sei \(y = f(x)\) und \(y'\) sei gesucht.

Logarithmieren der gegeben Funktion führt auf

\(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right)\) Gl. 65

Die neue Funktion wird nun nach der Kettenregel abgeleitet:

\(g'\left( x \right) = \frac{1}{ {f\left( x \right)} } \cdot f'\left( x \right)\) Gl. 66

Auflösen nach der gesuchten Ableitung

\(f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)\) Gl. 67

ergibt die gesuchte Ableitung.

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = {x^x}\)

Lösung:

Logarithmierung \(g(x) = x \cdot \ln \left( x \right)\)

Einsetzen in Gl. 67

\( f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) = {x^x} \cdot \frac{d}{ {dx} }\left( {x \cdot \ln \left( x \right)} \right) \)

Anwendung der Produktregel

\(f'\left( x \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + \frac{x}{x} } \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + 1} \right)\)

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