Partielle Integration (Produktregel)

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Produktregel der Differenziation liefert eine weitere Lösungsmethode für eine bestimmte Gruppe von Integralen:

\( (u \cdot v)' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) \) Gl. 150

integrieren und umstellen von Gl. 150

\( u \cdot v = \int {v(x) \cdot u'(x)dx} + \int {u(x) \cdot v'(x)dx} \) Gl. 151

\( \int {u(x) \cdot v'(x)dx} = u \cdot v - \int {v(x) \cdot u'(x)dx} \) Gl. 152

Beispiel 1:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {x \cdot \sin x\,}dx\)

mit \(u(x) = x\) und \(v'(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad v(x) = - \cos x \)

folgt \(\int {x \cdot \sin xdx} = - x \cdot \cos x + \int{\cos x \cdot 1\,dx} = - x \cdot \cos x + \sin x + C\)

Die Anwendung von Gl. 152 auf potenzierte Winkelfunktionen führt auf die Anwendung rekursiver Lösungsmethoden.

Beispiel 2:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int { { {\sin }^m}(x)\,} dx = \int { { {\sin }^{m - 1} }(x) \cdot \sin \left( x \right)\,} dx\)

mit \(u(x) = {\sin ^{m - 1} }(x)\) und \(v'(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad v(x) = - \cos x\)

sowie \(u'(x) = (m - 1){\sin ^{m - 2} }(x) \cdot \cos x\)

folgt \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\cos }^2}(x) \cdot { {\sin}^{m - 2} }(x)\,dx} \)

da \({\cos ^2}(x) = 1 - {\sin ^2}(x)\)

wird \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int {\left( {1 - { {\sin }^2}(x)} \right) \cdot { {\sin }^{m - 2} }(x)\,dx} \)

\(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\sin }^{m - 2} }(x)\,dx} - (m - 1)\int{ { {\sin }^m}(x)\,dx} \)

umstellen \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = \frac{1}{m}\left[ { -{ {\sin }^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\sin}^{m - 2} }(x)\,dx} } \right]\)

ergibt eine Rekursionsformel für Integrale dieser Art.

Mit n=3 wird \(\int { { {\sin }^3}(x)dx = - \frac{1}{3}{ {\sin}^2}(x)\cos (x) + \frac{2}{3}\int {\sin (x)dx} } \)

\(\int { { {\sin }^3}(x)dx = \frac{1}{3}\left( {2 - { {\sin}^2}(x)} \right)\cos (x)} \)

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