Kettenregel

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die zu differenzierende Funktion liegt als Funktion einer anderen Funktion vor. Beider Differenziale sind bekannt.

\(y = f(x) = u(v(x))\) Gl. 63

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x + \Delta x)) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \)

mit v(x + Δx) = v(x) + Δv(x) *)

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \)

erweitern von Zähler und Nenner mit Δv(x):

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \cdot \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta v(x)} } \)

umsortieren und beachten von: Δx→0 ⇒ Δv(x)→0

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta v(x) \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta v(x)} } \cdot \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta v(x) \to 0} \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } \)

beachte *)

\( y' = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {v(x + \Delta x) - v(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} } \)

\(y' = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} }\) Gl. 64

Die Ableitung \(\frac{ {dv} }{ {dx} }\) wird auch innere Ableitung genannt.

Beachte: nach Ausführung der Differenziation \(\frac{ {du} }{ {dv} }\) ist in \(u'(v)\) v durch v(x) zurück zu substituieren.

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\( y = f(x) = {(3 \cdot x)^2} \)

Lösung:

Substitution \( u = {v^2}; \quad v = 3x \)

Anwendung der Kettenregel nach Gl. 64

\(\frac{ {du} }{ {dv} } = 2v; \quad \frac{ {dv} }{ {dx} } = 3\)

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = 2v \cdot 3\)

Rücksubstitution \( v = 3x \)

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = 2 · 3x · 3 = 18x \)

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