Grenzwertberechnung nach de l’Hospital

Lesedauer: 7 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

In Abschnitt Einschließungsverfahren wurde deutlich, dass die Bestimmung von Grenzwerten nicht immer trivial ist. Mit der Regel von de l’Hospital (Guillaume de l'HOSPITAL, 1661-1704) steht ein Werkzeug zur Grenzwertbestimmung primär für Funktionen des Types \({\left. {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right|_{x \to {x_0} } } = \frac{0}{0}\,\,\) zur Verfügung.

Gl. 102 weist wieder den Weg zur Lösung:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f({x_0}) + f'(x) \cdot \Delta x} }{ {g({x_0}) + g'(x) \cdot \Delta x} } } \right] \) Gl. 111

da aber f(x0) ebenso wie g(x0) definitionsgemäß verschwinden, bleibt nur

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f'(x) \cdot \Delta x} }{ {g'(x) \cdot \Delta x} } } \right] \) Gl. 112

kürzen von Δx ergibt schließlich die Regel von l’Hospital:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[{\frac{ {f'(x)} }{ {g'(x)} } } \right] \text{ wenn } \mathop {\lim}\limits_{x \to {x_0} } g'(x) \ne 0 \) Gl. 113

Die Regel von l'Hospital sieht vor, dass der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen durch den Quotienten der ersten Ableitungen dieser Funktionen ersetzt wird.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Funktion \(\frac{ {\sin(x)} }{x}\,\,\) an der Stelle x→0.

Anwendung von Gl. 113:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\sin (x)} }{x} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\cos (x)} }{1} } \right] = 1\)

Führt die Bildung der ersten Ableitungen nicht zu einer Lösung, werden die Quotienten der zweiten und ggf. auch höhere Ableitungen verwendet.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Funktion \(\,\,{\left( {\frac{ {\sin (x)} }{x} } \right)^2}\) an der Stelle x→0.

Anwendung von Gl. 113:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ { { {\sin }^2}(x)} }{ { {x^2} } } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)} }{ {2x} } } \right] \) | Diff. nach Kettenregel

Grenzwert ist noch nicht bestimmbar, darum nochmalige Anwendung von Gl. 113:

| Diff. nach Produktregel

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\sin (x) \cdot \cos (x)} }{x} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\cos (x) \cdot \cos (x) - \sin (x) \cdot \sin (x)} }{1} } \right] = 1 \)

Generell kann die Regel von l’Hospital auch für andere Typen von Grenzwertaufgaben verwendet werden. Dann sind jedoch geeignete Umformungen der Ausdrücke erforderlich:

Typ Form Funktion Umformung
I. \(\frac{0}{0}\) \(\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} }\) Regel von de l’Hospital
II. \(\frac{\infty }{\infty }\) \(\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} }\) \( {}^{ \frac{1}{g(x)}{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{f(x)} }} \)
III. \(\infty - \infty \) \(f(x) - g(x)\) \( {}^{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)} }{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{g(x)} · \frac{1}{f(x)} } \)
IV. \(0 \cdot \infty \) \(f(x) \cdot g(x)\) \( {}^{ f(x) }{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{g(x)} } \)

Beispiel:

Gesucht ist der Grenzwert der Funktion \(x \cdot \cot x\) für x → 0.

Anwendung der Umformung nach Typ III: \( \frac{x}{ {\frac{1}{ {\cot x} } } } \quad \Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{ {\tan x} } \)

Regel von l’Hospital

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{ {1 + { {\tan}^2}x} } = 1\)

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