Produktregel

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die zu differenzierende Funktion liegt als das Produkt aus zwei (oder mehreren) Funktionen, deren Differenziale bekannt sind, vor.

\( y = f(x) = u(x) \cdot v(x) \) Gl. 58

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} } \)

Zwischenüberlegung:

\(f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f(x)\) Gl. 59

und

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta f(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {df(x)} }{ {dx} } = f'(x)\)

damit wird

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} }\)

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x) \cdot v(x) + \Delta u(x) \cdot v(x) + \Delta v(x) \cdot u(x) + \Delta u(x) \cdot \Delta v(x) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} }\)

Da das Produkt \( \Delta u(x) \cdot \Delta v(x) \) bei Δx → 0 quadratisch gegen 0 strebt, ist es stets viel kleiner als alle anderen Terme im Zähler, so dass es gänzlich vernachlässigt werden kann:

\(y' = v(x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta u(x)} }{ {\Delta x} } + u(x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } = v(x) \cdot \frac{ {du} }{ {dx} } + u(x) \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} }\)

\(y' = (u(x) \cdot v(x))' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x)\) Gl. 60

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \sin (x) \cdot {e^x} = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)\)

Lösung:

Mit

\(\begin{array}{l}u\left( x \right) = \sin (x)\\v\left( x \right) = {e^x}\end{array}\) und

\(y' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) = \cos \left( x \right) \cdot {e^x} + \sin (x) \cdot {e^x}\)

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