Zusammenhang von Integration und Differenziation

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Integration ist die inverse Operation der Differenziation und umgekehrt.

Es gilt:

\( \frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = f(x) \quad \Rightarrow \quad F\left( x \right) = \int {f(x)dx} \) Gl. 126

Beweis:

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x + \Delta x)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) und da \(f\left( {x + \Delta x} \right) = f(x) + \Delta f(x)\) Gl. 127

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\left( {f(x) + \Delta f(x)} \right)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) Gl. 128

Auflösung der Summe unter dem Integral nach Gl. 125:

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x)dx + \int {\Delta f(x)} dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} } \) Gl. 129

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\Delta f(x)dx} } }{ {\Delta x} }\) Gl. 130

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \int {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta f(x)} }{ {\Delta x} } } dx = \int {\frac{ {df(x)} }{ {dx} } } dx = \int {df(x)} = f(x)\) Gl. 131

q.e.d.

Weil nun nach jeder Differenziation konstante Summanden zu Null werden, gilt für beliebige Werte von C stets:

\(\frac{ {d\left( {F(x) + C} \right)} }{ {dx} } = f(x)\) Gl. 132

Folglich ist im Umkehrschluss stets zu berücksichtigen, dass bis auf eine konstante Größe C jede integrierte Funktion eindeutig bestimmt ist:

\(F\left( x \right) = \int {f(x)} dx\,\, + \,\,C\) Gl. 133

Abbildung 19 veranschaulicht, dass alle drei Funktionen die gleiche Ableitung haben.

Abbildung 19 Verschiedene Funktionen mit gleicher Ableitung
Abbildung 19: Verschiedene Funktionen mit gleicher Ableitung

Umgekehrt bedeutet das, dass das Integral der Funktion f(x) beliebig viele Lösungen haben kann, die aber bis auf eine Konstante C gleich sind.

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