Integration (Einführung)

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Integration bestimmt den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen einem von einer Funktion bestimmten Kurvenzug und der x-Achse (unbestimmtes Integral) aufgespannt bzw. zusätzlich durch Anfangs- und Endwerte beschränkt (bestimmtes Integral) wird.

Abbildung 17 Integration zur Flächenbestimmung zwischen Graphen und x-Achse
Abbildung 17: Integration zur Flächenbestimmung zwischen Graphen und x-Achse

Zur Berechnung der Fläche unter der Kurve wird diese in infinitesimal kleine Streifen der Breite Dx zerlegt. Ihr Flächeninhalt ergibt sich aus dem Produkt von Funktionswert f(x) und Δx (Abbildung 18):

\( \Delta F = f(x) \cdot \Delta x \) Gl. 122

Abbildung 18 Integration: Streifen für Flächeninhalt
Abbildung 18: Integration: Streifen für Flächeninhalt

Durch Aufsummation aller Streifen innerhalb eines bestimmten Intervalls wird der Flächeninhalt der gesamten Fläche bestimmt:

\( F = \mathop {\lim }\limits_{\Delta F \to 0} \sum\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\Delta F} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x) \cdot \Delta x = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x) \cdot dx} } \) Gl. 123

Beim Grenzübergang Δx→0 geht das diskrete Summenzeichen \(\sum {} \) in das kontinuierliche Integralzeichen \(\int {} \) über. Die Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x). Die Funktion f(x) hingegen wird Integrand genannt.

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