Näherungsrechnung

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Tangente, die an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion f(x) angelegt wurde, stellt in einem kleinen Bereich um den Punkt x0 herum eine Näherung der Funktion f(x) in diesem Punkt dar. Wie weit dieser Bereich gefasst werden kann, hängt vom Verlauf der Funktion – Funktionen mit starker Krümmung werden schlechter durch eine Gerade anzunähern sein, als solche mit geringer Krümmung -und von der geforderten Genauigkeit der Näherung ab.

Wie schon ausgeführt, ist das Differenzial einer Funktion in einem beliebigen Punkt gleich der Steigung der Tangente, die in diesem Punkt an die Funktion angelegt ist. Damit lässt sich die Geradengleichung der Tangente und damit der Gleichung der Näherung in diesem Punkt der Funktion bestimmen (Abbildung 15),

mit:

\( y' = f'(x) = \frac{ {dy} }{ {dx} } = \tan \alpha \) Gl. 101

als Steigung der Funktion f(x)

wird die Geradengleichung zu

\( \tilde y({x_0} + \Delta x) = f'({x_0}) \cdot \Delta x + f({x_0}) \) Gl. 102

Abbildung 15 Tangente an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion
Abbildung 15: Tangente an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion

Oder, wenn für \(\Delta x = x - {x_0}\) x als variabel eingesetzt wird,

\( \tilde y(x) = f'({x_0}) \cdot \left( {x - {x_0} } \right) + f({x_0}) \) Gl. 103

Näherungsformel für Binome beliebiger Potenz

Funktionen vom Typ

\( y = f(x) = {(1 + x)^n}; \quad n \in R\, \text{ wobei } x\, < < 1 \) Gl. 104

wobei x0 = 0 und f(x0) = 1 (da x0 = 0 darf Δx → x gesetzt werden)

werden entsprechend Gl. 102 angenähert durch:

\( \tilde y(1 + x) = f'(0) \cdot x + 1 = n \cdot x + 1\) wobei \(f'(x) = n \cdot {\left( {1 + x} \right)^{n - 1} } \) Gl. 105

Beispiele:

Es sei die Quadratwurzel von 10 zu bestimmen.

Die Quadratwurzel von 9 ist gleich 3.

\( y = \sqrt {10} = \sqrt {9 + 1} = 3 \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{9} } = 3 \cdot {(1 + 0,11...)^{\frac{1}{2} } } \)

\(\tilde y(10) = 3 \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot 0,11...} \right) = 3,1666...\)

der genaue Wert beträgt: 3,162278

Es sei die fünfte Potenz von 2,1 zu bestimmen.

Zunächst ist die Normalform zu bestimmen, daher wird 2 ausgeklammert:

\(2,1 = 2 \cdot (1 + 0,05); \quad {2^5} = 32\)

Anwendung von Gl. 105:

\(y = 32 \cdot f(0,05) = 32 \cdot {(1 + 0,05)^5}\,\)

\( \tilde y(2,1) = 32\left[ {5 \cdot 0,05 + 1} \right] = 40 \); der genaue Wert beträgt: 40,84101

Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen

Für kleine Werte von x (im Bogenmaß!) gilt

\( \sin \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\sin \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \sin \left( 0 \right) = \cos \left( 0 \right) \cdot x + 0 = 1 \cdot x = x \) Gl. 106

also

\( \sin \left( x \right) \approx x \) Gl. 107

Im Falle der cos-Funktion muss zudem noch eine weitere Näherung benutzt werden:

\( \cos \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\cos \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \cos \left( 0 \right) = -\sin \left( {0 + x} \right) \cdot x + 1 = - x \cdot x + 1 \) Gl. 108

aus Gl. 107 folgt schließlich

\( \cos \left( x \right) \approx 1 - {x^2} \) Gl. 109

\( \tan \left( x \right) \approx \frac{x}{ {1 - {x^2} } } \) Gl. 110

Beispiel:

Gesucht wird der Wert von cos(2°).

Umwandeln des Winkels in Bogenmaß \(2\pi \cdot \frac{ { {2^0} } }{ { { {360}^0} } } = {\rm{0} }{\rm{,03491} }\), damit ergibt sich näherungsweise der gesuchte Cosinus zu

\(c{\rm{os} }\left( { {\rm{0} }{\rm{,03491} } } \right) = 1 - {\rm{0} }{\rm{,03491} } = {\rm{0} }{\rm{,99878} }\)

Der exakte Wert beträgt: 0,99939

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