Näherungsrechnung

Lesezeit: 6 min Dr. Volkmar Naumburger Lizenz BY-NC-SA

Die Tangente, die an einer beliebigen Stelle x₀ einer Funktion f(x) angelegt wurde, stellt in einem kleinen Bereich um den Punkt x₀ herum eine Näherung der Funktion f(x) in diesem Punkt dar. Wie weit dieser Bereich gefasst werden kann, hängt vom Verlauf der Funktion – Funktionen mit starker Krümmung werden schlechter durch eine Gerade anzunähern sein, als solche mit geringer Krümmung -und von der geforderten Genauigkeit der Näherung ab.

Wie schon ausgeführt, ist das Differenzial einer Funktion in einem beliebigen Punkt gleich der Steigung der Tangente, die in diesem Punkt an die Funktion angelegt ist. Damit lässt sich die Geradengleichung der Tangente und damit der Gleichung der Näherung in diesem Punkt der Funktion bestimmen (Abbildung 15),

mit:

\( y' = f'(x) = \frac{ {dy} }{ {dx} } = \tan \alpha \) Gl. 101

als Steigung der Funktion f(x)

wird die Geradengleichung zu

\( \tilde y({x_0} + \Delta x) = f'({x_0}) \cdot \Delta x + f({x_0}) \) Gl. 102

Abbildung 15

Oder, wenn für \(\Delta x = x - {x_0}\) x als variabel eingesetzt wird,

\( \tilde y(x) = f'({x_0}) \cdot \left( {x - {x_0} } \right) + f({x_0}) \) Gl. 103

Näherungsformel für Binome beliebiger Potenz

Funktionen vom Typ

\( y = f(x) = {(1 + x)^n}; \quad n \in R\, \text{ wobei } x\, < < 1 \) Gl. 104

wobei x₀ = 0 und f(x₀) = 1 (da x₀ = 0 darf Δx → x gesetzt werden)

werden entsprechend Gl. 102 angenähert durch:

\( \tilde y(1 + x) = f'(0) \cdot x + 1 = n \cdot x + 1\) wobei \(f'(x) = n \cdot {\left( {1 + x} \right)^{n - 1} } \) Gl. 105

Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen

Für kleine Werte von x (im Bogenmaß!) gilt

\( \sin \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\sin \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \sin \left( 0 \right) = \cos \left( 0 \right) \cdot x + 0 = 1 \cdot x = x \) Gl. 106

also

\( \sin \left( x \right) \approx x \) Gl. 107

Im Falle der cos-Funktion muss zudem noch eine weitere Näherung benutzt werden:

\( \cos \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\cos \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \cos \left( 0 \right) = -\sin \left( {0 + x} \right) \cdot x + 1 = - x \cdot x + 1 \) Gl. 108

aus Gl. 107 folgt schließlich

\( \cos \left( x \right) \approx 1 - {x^2} \) Gl. 109

\( \tan \left( x \right) \approx \frac{x}{ {1 - {x^2} } } \) Gl. 110