Volumen rotationssymmetrischer Körper
Auch die Berechnung der Volumina von beliebig geformten Körpern ist mit Hilfe der Integralrechnung auf elementare Operationen zurückführbar. Hier soll dies am Beispiel rotationssymmetrischer Körper untersucht werden.
Zu diesem Zweck wird der Körper in Scheiben infinitesimal kleiner Dicke zerlegt. Das Volumen einer solchen Scheibe ergibt sich zu
\( dV = \pi \cdot {r^2}(x) \cdot dx \) Gl. 164
Der Radius der Scheibe ist gleich dem Funktionswert f(x) an dieser Stelle. Folglich ergibt sich das Gesamtvolumen zu:
\( V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx} \) Gl. 165
Beispiel:
Es sei das Volumen einer Kugel mit dem Radius R zu berechnen.
Lösung:
Das Kugelvolumen wird durch Rotation eines Halbkreises \(y = \sqrt { {R^2} - {x^2} } \)um die x-Achse bestimmt.
\(V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx = } \pi \cdot \int\limits_{ - R}^R { { {\left( {\sqrt { {R^2} - {x^2} } } \right)}^2}dx = \pi \cdot \left( {\int\limits_{-R}^R { {R^2}dx - \int\limits_{ - R}^R { {x^2}dx} } } \right)} \)
\( V = \left. {\pi \cdot \left( { {R^2}x - \frac{ { {x^3} } }{3} } \right)} \right|_{ - R}^R = 2\pi \left( { {R^3} - \frac{ { {R^3} } }{3} } \right) = \frac{ {4\pi } }{3}{R^3} \)