Volumen rotationssymmetrischer Körper

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Auch die Berechnung der Volumina von beliebig geformten Körpern ist mit Hilfe der Integralrechnung auf elementare Operationen zurückführbar. Hier soll dies am Beispiel rotationssymmetrischer Körper untersucht werden.

Abbildung 25 Volumen rotationssymmetrischer Körper - Integralrechnung
Abbildung 25: Volumen rotationssymmetrischer Körper - Integralrechnung

Zu diesem Zweck wird der Körper in Scheiben infinitesimal kleiner Dicke zerlegt. Das Volumen einer solchen Scheibe ergibt sich zu

\( dV = \pi \cdot {r^2}(x) \cdot dx \) Gl. 164

Der Radius der Scheibe ist gleich dem Funktionswert f(x) an dieser Stelle. Folglich ergibt sich das Gesamtvolumen zu:

\( V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx} \) Gl. 165

Beispiel:

Es sei das Volumen einer Kugel mit dem Radius R zu berechnen.

Lösung:

Das Kugelvolumen wird durch Rotation eines Halbkreises \(y = \sqrt { {R^2} - {x^2} } \)um die x-Achse bestimmt.

\(V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx = } \pi \cdot \int\limits_{ - R}^R { { {\left( {\sqrt { {R^2} - {x^2} } } \right)}^2}dx = \pi \cdot \left( {\int\limits_{-R}^R { {R^2}dx - \int\limits_{ - R}^R { {x^2}dx} } } \right)} \)

\( V = \left. {\pi \cdot \left( { {R^2}x - \frac{ { {x^3} } }{3} } \right)} \right|_{ - R}^R = 2\pi \left( { {R^3} - \frac{ { {R^3} } }{3} } \right) = \frac{ {4\pi } }{3}{R^3} \)

  Hinweis senden