G12: Terme, Termumformung, Gleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. Klasse

Mathe-Videos

Stell dir vor, du stehst vorne an der Tafel (mündliche Prüfung) und der Mathelehrer fragt dich: "Was ist eigentlich ein Term?" … wenn du diese Frage nicht beantworten kannst, so richtet sich diese Lektion an dich.

Falls du dich schon immer gefragt hast, warum man eigentlich Gleichungen umstellen kann und schließlich ein Ergebnis mit "x = Zahl" herausbekommt, so geben dir die Videos eine Antwort darauf. Auch solltest du wissen, was mit "Äquivalenzumformung" gemeint ist. Wir wissen, dass der Begriff nicht besonders geläufig ist, doch Begriffe gehören ebenfalls zu den mathematischen Grundkenntnissen.

Mathe-Video G12-1 Terme und Gleichungen - Einführung

Was ist ein Term, Umformen von Termen (Termumformung), Gleichungen umstellen (sogenannte Äquivalenzumformung).

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G12-2 Terme und Gleichungen - Äquivalenzumformung

    Hinführung zur Unbekannten x in einer Gleichung, Lösung von 2 Beispielaufgaben mittels Aufstellen von Gleichungen, Lösungsmöglichkeiten für x (ein, kein, unendlich viele Ergebnisse).

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Wissen zur Lektion

Einführung: Was ist ein Term?

Zunächst besprechen wir, was überhaupt ein Term ist. Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck. Es gibt unterschiedliche Arten von Termen:

  • Terme können einzelne Zahlen wie 4 oder 5 sein
  • bei jeder Anwendung von Rechenoperationen erhalten wir Gebilde, die wir Terme nennen können: 5 + 4 oder 7 - 2 oder 6 · 3 oder 10 : 2
  • Variablen (Buchstaben) können Terme sein: x, y, z
  • Verknüpfungen von Zahlen und Buchstaben sind Terme: x+2, 5·y, z:1,5
  • Terme können Klammern und Rechenzeichen enthalten, z. B. x·(4+x²) ist ein Term. Man kann aber auch die einzelnen Teile als einzelne Terme betrachten, also x, (4+x²), 4 oder x².

Jeder der einzelnen Ausdrücke macht Sinn. Keinen Sinn macht zum Beispiel: 3 + (. Dieser Ausdruck ist kein Term.

Terme dürfen keine Gleichheitszeichen enthalten. Eine Gleichung ist eine Verbindung zweier Terme (Linksterm = Rechtsterm). Beide Terme sind durch ein Gleichheitszeichen verknüpft und man drückt damit aus, dass beide Terme den gleichen Wert haben sollen. Zum Beispiel: 4 + 9 = 5 + 8. Linksterm ist 4 + 9 und Rechtsterm ist 5 + 8. Beide haben den gleichen Wert mit 13.

Die Termumformung

Die Termumformung ist die Veränderung eines Terms von einer Form zu einer anderen, wobei sie den gleichen Sinn bzw. Wahrheitsgehalt haben muss. Wir nehmen uns als Beispiel einen Term und formen diesen um:

5 · (2 + 7)

Wir können den Term umformen, indem wir einzelne Teile des Termes ausrechnen, berechnen wir zuerst den Ausdruck in der Klammer (2 + 7):

5 · (2 + 7) = 5 · (9) = 5 · 9

Damit hätten wir bereits eine Termumformung gemacht. Gehen wir noch einmal von dem Ursprungsterm aus und wenden das Distributivgesetz auf unseren Term an und rechnen dann den Ausdruck aus:

5 · (2 + 7) = 5·2 + 5·7 = 10 + 35 = 45

In jedem einzelnen Schritt haben wir jetzt Termumformungen durchgeführt, da wir den Term nur in einer anderen Darstellung aufgeschrieben, aber den Wert des Terms nicht verändert haben. In jedem Schritt hat der Term den selben Wert mit 45.

Am häufigsten wird die Termumformung mit Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz in Verbindung gebracht. Aber auch gerne mit den Binomischen Formeln.

Wir haben jetzt schon, vielleicht sogar ohne es zu wissen, Gleichungen aufgestellt. Gleichungen kann man auch auf eine besondere Weise umformen. Wie das geht, sehen wir jetzt.

Gleichungen umformen / Äquivalenzumformungen

Nehmen wir uns eine einfache Gleichung:

3 + 2 = 5

Schreiben wir die 2 als x so erhalten wir:

3 + x = 5

Wir haben die Zahl 2 nun in unserer Gleichung versteckt und zwar mit Hilfe von x. Gehen wir davon aus, dass wir nicht wissen, für welche Zahl das x steht. Einen Buchstaben in einer Gleichung, der für eine unbekannte Zahl steht, nennt man Variable. Eine Variable steht für einen beliebigen Wert. x ist also eine Variable oder auch Unbekannte genannt.

Sehr häufig werden uns Gleichungen mit Variablen begegnen, bei denen wir bestimmen sollen, für welche Werte der Variablen unsere Gleichung wahr ist. Versuchen wir zu bestimmen, für welche Werte für x unsere Gleichung wahr ist.

3 + x = 5

Schreiben wir die 5 auf der rechten Seite als 3 + 2.

3 + x = 3 + 2

Wir können uns bei Gleichungen, die wahr sind, vorstellen, dass wir eine Waage haben, bei der auf beiden Seiten das selbe Gewicht liegt. Beide Seiten sind also im Gleichstand und auf der selben Höhe. Legen wir etwas mehr Gewicht auf eine Seite, so schwankt die Waage. Wir können aber auf beiden Seiten der Waage das Gewicht um den selben Wert erhöhen oder vermindern und unsere Waage bleibt trotzdem im Gleichstand. Genauso können wir das Gewicht auf beiden Seiten beliebig oft vervielfachen oder teilen. Unsere Waage würde nicht ausschwanken.

Das, was wir mit den Gewichten machen, nennt man bei Gleichungen "Äquivalenzumformungen". Solange wir beiden Seiten mit Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division gleich verändern, bleibt unsere Aussage der Gleichungen unverändert. Die Gleichung bleibt trotzdem wahr.

Betrachten wir uns das an einem anderem Beispiel:

10 = 10

Die Gleichung ist offensichtlich wahr. Wir führen jetzt verschiedene Rechenoperationen durch und werden sehen, dass unsere Aussage/Gleichung trotzdem wahr bleibt:

10 = 10 | + 3
13 = 13

10 = 10 | - 3
7 = 7

10 = 10 | : 2
5 = 5

10 = 10 | · 2
20 = 20

Auch wenn wir etwas schwierigere Gleichungen haben, die vielleicht sogar Variablen enthalten, kann man diese Umformungen durchführen, da auch für diese Gleichungen gilt, dass beide Seiten gleich sein müssen.

Zurück zu unserer Aufgabe:
3 + x = 3 + 2

Wir wollen nun, den Wert für x herausfinden. Da wir jetzt wissen, dass man Äquivalenzumformungen anwenden kann, versuchen wir die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite nur noch die Variable x steht. Also x = Zahl.

Wir subtrahieren einfach von beiden Seiten den Wert 3, da dieser Wert uns auf der linken Seite der Gleichung stört:

3 + x = 3 + 2    | -3

3 + x - 3 = 3 + 2 - 3

Wir sehen jetzt direkt, dass auf beiden Seiten der Wert 3 wegfällt:

3 + x - 3 = 3 + 2 - 3
x + 3 - 3 = 2 + 3 - 3
x + 0 = 2 + 0
x = 2

An x = 2 lässt sich erkennen, dass wir für x die Zahl 2 einsetzen können und unsere Gleichung damit wahr sein wird.

Die 5 haben wir als 3 + 2 geschrieben, um das Ganze etwas anschaulicher zu machen. Wir können die selbe Äquivalenzumformung aber auch durchführen, wenn wir die 5 nicht zu 3 + 2 umgeformt hätten:

3 + x = 5    | -3
3 + x - 3 = 5 - 3
x + 3 - 3 = 2
x + 0 = 2
x = 2

Hat man eine Gleichung per Äquivalenzumformung umgeformt, so sagt man auch, dass die Gleichung vor der Umformung äquivalent zu der Gleichung nach der Umformung ist. Das schreibt man dann so auf:

3 + x = 5 ⇔ x = 2

3 + x = 5 ist äquivalent zu x = 2

An dieser Stelle sei erwähnt, dass eine Multiplikation mit 0 keine Äquivalenzumformung darstellt. Der Grund ist, dass aus einer falschen Aussage eine wahre werden kann. Ein Beispiel:

5 = 3    | ·0
5·0 = 3·0
0 = 0

Weglassen des Malzeichens

Wichtig zu wissen ist, dass man in der Mathematik häufig statt "2·x" auch nur "2x" schreibt. Das Malzeichen kann also bei Variablen weggelassen werden. Dazu sollte man sich merken, dass man auch bei Variablen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann.

Haben wir also 2x, so können wir zum Beispiel rechnen:

2x · 3 = 2·x·3 = 2·3·x = 6·x

oder

2x : 2 = 2·x : 2 = x·2:2 = x·1 = x

Anwendungsaufgaben

Abschließend bearbeiten wir zusammen einige Aufgaben zu diesem Thema, die uns in solcher oder ähnlicher Form begegnen können.

1. Aufgabe

Bestimme x bei der Gleichnung 2x + 3 = 11.

Bei vielen Aufgaben heißt es, dass man x bestimmen oder berechnen soll. Damit ist genauer gemeint, dass man berechnen soll, welche Zahl man für x einsetzen muss, damit die Gleichung wahr ist.

Machen wir dies, indem wir die bereits bekannten Äquivalenzumformungen benutzen und somit versuchen, x alleine auf eine Seite der Gleichung zu bringen:

2x + 3 = 11    | -3

2x + 3 - 3 = 11 - 3

2x = 8   | :2

x = 4

Unsere Gleichung gilt für x = 4.

Führen wir eine Probe durch und sehen, ob die Gleichung mit diesem x-Wert zu einer wahren Aussage führt:

2x + 3 = 11    | x = 4

2·4 + 3 = 11
8 + 3 = 11
11 = 11

Wichtig: Empfehlenswert ist, als erstes zu schauen, ob man die Zahlen von der Gleichungsseite, auf der die Variable steht, mit Hilfe von Addition oder Subtraktion beseitigen kann. Wendet man nämlich eine Multiplikation oder Division an, so müssen wir die komplette Seite der Gleichung mit unserer Zahl multiplizieren oder teilen. Würden wir bei unserer Aufgabe :2 rechnen, so hätten wir:

2x + 3 = 11 | : 2
(2x + 3) : 2 = 11 : 2

Wir erkennen: Linksterm und Rechtsterm werden komplett durch 2 dividiert.

Häufig wird folgender Fehler gemacht:
2x + 3 = 11   | :2
2x : 2 + 3 = 11 : 2   | ist falsch
(2x + 3) : 2 = 11 : 2   | ist richtig
2x:2 + 3:2 = 11:2   | ist richtig

Also unbedingt darauf achten, dass ihr die Rechenoperationen auf die ganze Seiten der Gleichung anwendet.

2. Aufgabe

Eine Zahl wird verdoppelt und um 3 erhöht, als Ergebnis erhält man 15.

Das Schwerste an solchen Aufgaben ist die Aufstellung der Gleichung. Lest euch also den Text durch (manchmal auch mehrfach) und versucht genau zu bestimmen, welcher Teil der Gleichung im Text für was steht.

Wir fangen also an und nehmen den Text auseinander, um aus den Angaben eine Gleichung aufzustellen:

- Eine Zahl: Wir haben also eine beliebige Zahl gegeben. Daraus schließen wir, dass wir eine Variable x benötigen: x

- wird verdoppelt: Also wird unsere Zahl x mal 2 gerechnet: x·2

- und um 3 erhöht: Nach der Verdopplung wird also 3 auf die Zahl addiert: x·2 + 3

- als Ergebnis erhält man 15: Ein Ergebnis wird immer mit einem Gleichheitszeichen ausgedrückt: x·2 + 3 = 15

Damit haben wir unsere vollständige Gleichung aufgestellt: x·2 + 3 = 15

2x + 3 = 15

Das lösen wir jetzt einfach auf nach x auf:

2x + 3 = 15    | -3
2x + 3 - 3 = 15 - 3
2x = 12    | :2
x = 6

Unsere gesuchte Zahl, die Lösung ist somit die 6.

3. Aufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen x und 2x.

Rechteck Aufgabe Terme 2x und x

Der Umfang des Rechtecks soll u = 48 cm sein. Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.

Um die Seitenlängen zu bestimmen, müssen wir x bestimmen. Wir wissen, dass der Umfang 48 cm lang sein soll. Außerdem wissen wir, dass der Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b berechnet wird mit: u = 2a + 2b .

Wir kennen die Seitelängen mit x und 2x, diese lassen sich einfach in die Formel einsetzen:

u = 2·a + 2·b    | a = x und b = 2x
u = 2·(x) + 2·(2x)
u = 2x + 4x
u = 6x

Jetzt ist unser Umfang gleich 48 cm, also erhalten wir:

u = 6x    | u = 48 cm
48 cm = 6x

Das können wir einfach auflösen per Division:

6x = 48 cm    | :6
6·x:6 = 48:6 cm
x = 8 cm

Den Wert für x setzen wir noch für die beiden Seitenlängen ein:

a = x    | x = 8 cm
a = 8 cm

b = 2x    | x = 8 cm
b = 2·8 cm
b = 16 cm

Damit haben wir unsere Aufgabe gelöst. Die eine Seitenlänge ist 8 cm lang, die andere 16 cm. Wir können zur Sicherheit noch die Probe machen:

2·a + 2·b = 48 cm    | a = 8 cm und b = 16 cm
2·8 cm + 2·16 cm = 48 cm
16 cm + 32 cm = 48 cm
48 cm = 48 cm

Korrekt. Wir haben richtig gelöst. Das Rechteck sieht also so aus:

Rechteck Resultat

Keine Lösung für x

Noch ein kleiner Hinweis zu den Lösungen von Gleichungen: Es kann auch vorkommen, dass ihr keinen Wert für x findet, für den die Gleichung wahr ist. Wenn ihr zum Beispiel die Gleichung habt:

x + 1 = x

Dann formen wir um:
x + 1 = x   | - x
x + 1 - x = x - x
1 + x - x = 0
1 + 0 = 0
1 = 0

Damit erhalten wir eine Aussage, die nicht wahr ist. 1 ist nämlich ungleich 0. Es gibt also keinen Wert für x, bei dem die Gleichung erfüllt wird. Man sagt: Die Lösungsmenge ist leer.

Unendlich viele Lösungen für x

Gleichungen können auch unendlich viele Lösungen haben. Das sehen wir an diesem simplen Beispiel:

x = x

Wir können nun jeden beliebigen Wert für x einsetzen und die Gleichung wäre erfüllt.

Als Lösungsmenge könnte man hier die reellen Zahlen angeben (also alle möglichen Zahlen, die ihr bis zur 10. Klasse kennengelernt habt) und schreibt: L = ℝ (also Lösungsmenge = Reelle Zahlen) oder alternativ x = x ∈ ℝ

Wissen in Kurzform

Term = sinnvoller mathematischer Ausdruck

Termumformung = Veränderung eines Terms von einer Form zu einer anderen, wobei sie den gleichen Sinn bzw. Wahrheitsgehalt haben muss.

Äquivalenzumformung = Veränderung von Linksterm und Rechtsterm einer Gleichung mit derselben mathematischen Operation (z. B. plus, minus, mal, durch, … eine Zahl). Dabei verändern sich zwar die Terme auf beiden Seiten der Gleichung, der Wert für das darin enthaltene x jedoch nicht.

2·x = 40
x = 20

2·x = 40
// verdoppeln wir beide Seiten mit ·2
4·x = 80
x = 20

x behält den Wert 20, sofern wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Operation durchführen.

Ursprungsgleichung und umgeformte Gleichung sind zueinander äquivalent. Man schreibt: 2·x = 40 ⇔ 4·x = 80

PS: Oft werden in der Mathematik einfach nur Regeln angewendet, ohne verstanden zu haben, warum sie überhaupt funktionieren. Dies gilt übrigens nicht nur für komplexe Sachverhalte, sondern auch für augenscheinlich einfache Dinge. Lasst uns das ändern!

Mathe-Programme

Wenn ihr die Lösung einer Gleichung sucht, so könnt ihr diese bei wolframalpha.com eingeben und erhaltet dort die Lösung für die Unbekannte in der Gleichung angezeigt. Beispiel: 5x-4=8+x

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Teste hier dein Wissen zu den Termen, deren Umformung und zum Umstellen von Gleichungen! Die Berechnungen sind ohne Taschenrechner auszuführen. Viel Spaß dabei!

A. Term oder kein Term?

1. 2
2. 2+5
3. 2*
4. 2*(-1)
5. +3+5
6. --+4
7. 1*(3+4)
8. *(3+4)



B. Vereinfache die Terme (forme sie um und schreibe sie soweit möglich kürzer) und benenne die Regel, die du jeweils angewendet hast:

1. 3+3+3+3 =
2. x+x+x+x =
3. 3+4+3+4+3+4 =
4. x+y+x+y+x+y =
5. 3*(5 + x) =
6. (2 + x)*x =
7. (3 + x)*(2 + x) =
8. (a + x)*(b + x) =



C. Rechne die Gleichungen aus, d. h. finde den Wert für x!

1. x+x+x = 9
2. 4*x = 48
3. 4*x + 14 = 50
4. x*(-2) + x = 3x + 6
5. 9x - 9 = 81
6. 2*(3x -10) = x + 1
7. 88*x = 15*x
8. x = x
9. (3 + 2*x):4 = (3*x - 2):4
10. (37-x):2 = 12+x



D. Wende dein Wissen zum Umstellen von Gleichungen und dem Suchen der Unbekannten x auf die folgenden Bruchterme an. Du solltest vorher die Lektion Brüche vollständig gesehen haben:

Bruchterme Aufgaben

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

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Untertitel

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Tags: was ist ein Term, Äquivalenzumformung, Formeln umstellen einfach, Äquivalenz, äquivalent, Gleichungen umformen und lösen

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