Schriftliche Division von natürlichen Zahlen
Bei der schriftlichen Division wird der Dividend stellenweise von links nach rechts durch den Divisor dividiert. In jedem Schritt schreibt man das Teilergebnis auf, so ergibt sich schließlich stellenweise das Gesamtergebnis (der Quotient).
Genauer gesagt: Wir dividieren jeweils eine (oder mehrere) Stelle(n) des Dividenden durch den gesamten Divisor. So ergibt sich stellenweise das Gesamtergebnis. Siehe folgendes Beispiel.
Verfahren der schriftlichen Division (anhand Beispiel)
Nehmen wir uns als Beispiel die Division 3195 : 15 und zeigen, wie das Verfahren der schriftlichen Division schrittweise funktioniert:
3195 : 15 = …
1. Schritt
Zuerst schauen wir, ob die erste Stelle des Dividenden (von links, hier 3) durch 15 teilbar ist, dies ist nicht der Fall.
Dann nehmen wir die nächste Stelle dazu, jetzt prüfen wir, ob 31 durch 15 teilbar ist, dies funktioniert. Also führen wir die Division aus und erhalten 31 : 15 = 2 (Rest 1).
3195 : 15 =
30 ← 2·15
Die erste Ergebniszahl (also 2) schreiben wir rechts neben das Gleichheitszeichen:
3195 : 15 = 2
30
2. Schritt
Den Rest 1 schreiben wir auf die nächste Zeile.
3195 : 15 = 2
30 ← 2·15
1 ← Rest
Wir erhalten den Rest, wenn wir 31 - 30 = 1 rechnen.
3. Schritt
Nun machen wir weiter, indem wir die nächste Stelle des Dividenden 9 „herunter holen“ und zum Rest 1 schreiben:
3195 : 15 = 2
30↓
19
4. Schritt
Als nächstes rechnen wir die Zahl 19 durch 15, also 19 : 15 = 1 (Rest 4).
3195 : 15 = 2
30
19
15 ← 1·15
4 ← Rest
Die zweite Ergebniszahl (also 1) notieren wir beim Ergebnis rechts:
3195 : 15 = 21
30
19
15
4
5. Schritt
Nun „holen“ wir die nächste Stelle herunter, und zwar die 5:
3195 : 15 = 21
30 ↓
19↓
15↓
45
6. Schritt
Als nächstes rechnen wir die Zahl 45 durch 15, also 45 : 15 = 3 (Rest 0).
3195 : 15 = 21
30
18
15
45
45 ← 3·15
0 ← Rest
Die dritte Ergebniszahl (also 3) notieren wir beim Ergebnis rechts:
3195 : 15 = 213
30
18
15
45
45
0
7. Schritt
Jetzt können wir das vollständige Ergebnis aus den Teilergebnissen ablesen:
3195 : 15 = 213
30 ← 2·15
18
15 ← 1·15
45
45 ← 3·15
0
Probe:
213 · 15 = 3195 ✓
Zusammenfassung
Alle Schritte in kurzer Schreibweise zusammengefasst:
3195 : 15 = 213
30 ← 2·15
19 ← 31-30=1 und die 9 aus 3195
15 ← 1·15
45 ← 19-15=4 und die 5 aus 3195
45 ← 3·15
0
Wie wir sehen, sind recht viele Schritte notwendig, um die Stellen des Endergebnisses zu bestimmen. Die Kurzschreibweise hilft uns jedoch, schneller zu rechnen.
Warum funktioniert das stellenweise Dividieren?
Dahinter steckt das Zerlegen der Zahlen.
Nachfolgend sehen wir, was wirklich passiert:
= 3195 : 15
= (3000 + 195) : 15
= 3000:15 + 195:15
= 200 + 195:15
= 200 + (150 + 45):15
= 200 + 150:15 + 45:15
= 200 + 10 + 45:15
= 200 + 10 + 3
= 213
Schriftliche Division mehrerer Zahlen
Die schriftliche Division von mehreren Zahlen ist nicht in der oben vorgestellten Form möglich. Stattdessen berechnen wir zuerst das Ergebnis (Quotient) aus den ersten beiden Zahlen und dieses dividieren wir dann durch die nächste Zahl usw.
Also bei dem Beispiel 3195 : 15 : 3 rechnen wir zuerst 3195 : 15 = 213 (Teilergebnis) und dividieren dann 213 durch die dritte Zahl 3, so erhalten wir 213 : 3 = 71
Zusammengefasst:
3195 : 15 : 3
= 213 : 3
= 71