Mathe G20: Wurzeln und Wurzelgesetze

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Laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

"Möchte man von einer berechneten Potenz wieder die Basis wissen, von der sie herrührt, so kann man das Rechnen mit Wurzeln verwenden!" Klingt schwierig? Ist aber einfach! Genaueres gibt es in den folgenden Mathematik-Videos. Viel Spaß beim Anschauen und Verstehen:

G20-1 Wurzeln - Einführung

Wurzel als Umkehrung der Potenz. Begriffe: Wurzelexponent, Radikand und Wurzelwert, Wurzelziehen (Radizieren), Ursprung des Wurzelzeichens √, Quadratwurzel, Umwandlung einer Wurzel zu einer Potenz, Wurzelgesetz für Multiplikation.

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Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Division von Wurzeln, Wurzel aus Wurzel (Doppelwurzel), Teilweises Wurzelziehen, Wurzel aus Null, Nullte Wurzel, Rechnen mit negativem Wurzelexponenten, Zusammenfassung der wichtigsten Wurzelrechenregeln.
  • Wurzeln aus negativen Zahlen, n-te Wurzel aus Eins, Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln, Beispielaufgaben für Anwendung der Wurzel, Plusminus-Wurzel.
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Wissen zur Lektion

Was ist die Wurzel?

Die Wurzel √ macht das Potenzieren rückgängig. Ziehen wir die Wurzel aus dem Potenzwert, so erhalten wir die ursprüngliche Basis. Was das meint, zeigt uns folgendes Beispiel:

$$ 3^2 = 9 \xrightarrow{rückgängig} \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 $$ $$ \sqrt [ 2 ]{ 9 } = 3 \xrightarrow{denn} 3^2 = 9 $$ $$ \sqrt [ \color{red}{3} ]{ \color{green}{64} } = \color{blue}{4} \xrightarrow{denn} \color{blue}{4}^\color{red}{3} = \color{green}{64} $$

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{b} } = \color{blue}{c} \rightarrow \color{blue}{c}^\color{red}{a} = \color{green}{b} $$

wobei der Radikand b in jedem Fall positiv sein muss.

Bezeichnungen an der Wurzel

Es gibt drei wichtige Begriffe an der Wurzel, die ihr kennen müsst: Basis, Wurzelexponent und Wurzelwert. Siehe Abbildung:

Wurzel-Bezeichnungen Wurzelexponent, Radikand, Wurzelwert

Quadratwurzel und Kubikwurzel

Ist kein Wurzelexponent angegeben, so spricht man von der Quadratwurzel (also 2. Wurzel): Quadratwurzel Schreibweise ohne Zwei

$$ \sqrt { x } = \sqrt [ 2 ]{ x } $$

Spricht man von der Kubikwurzel, so meint man stets die 3. Wurzel:

$$ \sqrt [ 3 ]{ x } $$

Es ist übrigens hilfreich, Quadratzahlen und Kubikzahlen auswendig zu kennen. Denn dann erkennt man beispielsweise 625 schnell als Quadratzahl (25²) und weiß gleichzeitig, dass die Quadratwurzel 2√625 = 25 ist. Oder dass die Kubikwurzel 3√64 = 4 ist.

xQuadratzahlen x²Kubikzahlen x³x4
1111
24816
392781
41664256
525125625
6362161296
7493432401
8645124096
9817296561
10100100010000
11121133114641
12144172820736
13169219728561
14196274438416
15225337550625
16256409665536
17289491383521
183245832104976
193616859130321
204008000160000
214419261194481
2248410648234256
2352912167279841
2457613824331776
2562515625390625

Wurzelgesetze

Allgemeine Regeln für Wurzeln

Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens).

$$ \sqrt [ 2 ]{ x^2 } = x \quad \sqrt [ a ]{ x^a } = x $$

Der Exponent der Potenz kann aus der Wurzel herausgezogen werden:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = (\sqrt [ \color{red}{a} ]{ x })^\color{blue}{b} $$

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} $$

Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen.

Wenn wir den 'Standardfall' haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{a} }} $$

Die Wurzel aus Eins ist stets Eins, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{1} } = 1 \xrightarrow{denn} 1^\color{red}{a} = \color{green}{1} $$

Multiplikation und Division von Wurzeln

Die Wurzel lässt sich bei der Multiplikation auf zwei Faktoren und bei der Division auf Divisor und Dividend übertragen:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} \cdot \color{blue}{y} } \\ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } : \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} : \color{blue}{y} } $$

Als Bruch geschrieben:

$$ \frac { \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } }{ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{blue}{y} } } = \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \frac { \color{green}{x} }{ \color{blue}{y} } } $$

Die Schreibweise Zahl mit Wurzel meint eine Multiplikation zwischen den beiden:

$$ 3 \sqrt { 16 } = 3 \cdot \sqrt { 16 } $$

Multiplikation bei gleichem Radikand

Wenn wir den gleichen Radikand, aber unterschiedliche Wurzelexponenten haben, lässt sich nicht so einfach zusammenfassen. Dies erkennen wir, wenn wir die Wurzel in eine Potenz umschreiben:

$$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ \color{green}{x} } \cdot \sqrt [ \color{blue}{b} ]{ \color{green}{x} } = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}}} \cdot x^{ \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1}{\color{red}{a}} + \frac{1}{\color{blue}{b}}} = \\ x^{ \frac{1·b}{\color{red}{a}·b} + \frac{1·a}{\color{blue}{b}·a}} = \\ x^{ \frac{\color{red}{a}+\color{blue}{b}}{\color{red}{a}·\color{blue}{b}}} \\ \sqrt [ \color{red}{a}·\color{blue}{b} ] {x^{ \color{red}{a}+\color{blue}{b}} } $$

Verschachtelte Wurzel

Bei einer verschachtelten Wurzel (Wurzel aus Wurzel) kann man die Wurzelexponenten miteinander multiplizieren (Nachweis über die Potenz, siehe Wurzelvideo Teil 2).

$$\sqrt [ a ]{ \sqrt [ b ]{ x } } = \sqrt [ a \cdot b ]{ x } $$

Teilweises Wurzelziehen

Beim teilweisen Wurzelziehen (auch 'Vereinfachen von Wurzeln' genannt) zieht man einen Teil aus der Wurzel heraus. So zum Beispiel:

$$ \sqrt { 250 } = \sqrt { 25 \cdot 10 } = \sqrt { 25 } \cdot \sqrt { 10 } = 5 \cdot \sqrt { 10 } $$

Wurzel aus Null und Nullte Wurzel

Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da Null ins Quadrat Null ergibt:

$$ \sqrt{ \color{green}{0} } = 0 \xrightarrow{denn} 0^2 = \color{green}{0} $$

Die nullte Wurzel aus einem Wert ist nicht definiert:

$$ \sqrt[0]{ \color{green}{x} } = n.d.$$

Nachweis:

$$ \sqrt[0]{ x } = \sqrt [ 0 ]{ x^1 } = x^{\frac { 1 }{ \color{red}{0} }} = n.d.$$

Eine Division durch Null ist nicht möglich bzw. nicht definiert, vergleiche hierzu Lektion Teilbarkeit.

Negativer Wurzelexponent

Man kann bei negativem Wurzelexponenten wie folgt umformen:

$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x^\color{blue}{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } } $$

Wenn b=1 ist, wir also keine Potenz unter der Wurzel haben, gilt demnach:

$$ \sqrt[ \color{red}{-a} ]{ x } = \frac { 1 }{ \sqrt[ \color{red}{a} ]{ x } } $$

Negativer Radikand

Sofern der Wert unter der Wurzel negativ ist (hier mit -x dargestellt), erhalten wir kein Ergebnis, denn es gibt keinen negativen Wert, der quadriert negativ wird.

$$ \sqrt [ 2 ]{ -x } = n.d. \text{ | sofern x>0}$$

Die gerade Wurzel aus einer negativer Zahl ist nicht definiert.

Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen (trotz eines negativen Wertes unter der Wurzel) ein Ergebnis:

$$ \sqrt [ 3 ]{ -x } = -y $$

Die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist definiert.

Zum Beispiel:

$$ \sqrt [ 3 ]{ -125 } = -5 $$

Begründung:

$$ (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 $$

Gleichungen umformen mit Wurzeln (Äquivalenzumformungen)

Manchmal müssen wir plus-minus die Wurzel ziehen, um ein positives und ein negatives Ergebnis zu erhalten. Beispiel:

Äquivalenzumformung plus-minus-Wurzel

Wir erhalten zwei Ergebnisse, denn es gilt: (+2)² = 4 sowie (-2)² = 4

Man spricht hier von der Mehrdeutigkeit der Wurzel (Fachbegriff Ambiguität). Merkt euch: Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen positiven Wert. Wenn wir jedoch eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann gibt es zwei mögliche Lösungen (eine positive und eine negative).

Falls ihr einmal eine Wurzel 'vernichten' sollt, müsst ihr beide Seiten potenzieren, also am Beispiel:

Wurzel bei Gleichung potenzieren

Herkunft von 'Wurzel' und Wurzelzeichen

Habt ihr euch bereits die Frage gestellt, woher der Begriff Wurzel und das Wurzelzeichen stammen? Um das zu klären, muss man wissen, dass die Wurzel im Lateinischen Radix hieß. Und richtig, diesen Begriff findet ihr heute auch noch im Wort Radieschen wieder.

Ihr könnt euch also einfach gesagt vorstellen, dass eine Zahl "gewachsen" ist und man möchte zu ihrem Ursprung (ihrer Wurzel) zurück.

Schaut man sich das Englische einmal an, so findet man übrigens das Wort "eradicate", das von radix abstammt und übersetzt wird mit "beseitigen, ausmerzen". Man beseitigt also eine Zahl und findet ihren Ursprung.

→ Das Wurzel-Zeichen ist übrigens aus dem Anfangsbuchstaben von "radix", also dem kleinen "r" hervorgegangen. Sozusagen eine Kurzschreibweise fürs Radizieren (= Wurzelziehen).

Widerspruch beim Wurzel-Potenz-Umwandeln

Wie wir in Video-Teil 3 sehen konnten, kann man bei der Wurzel-Potenz-Überführung bei negativem Radikand unter Umständen in Konflikt geraten, formt man beispielsweise wie folgt um:

Widerspruch Wurzelgesetz und Potenzgesetz

Das Problem entsteht, wenn man den Exponenten (der Bruch Ein-Drittel) erweitert und damit einen anderen Exponenten schafft (3. Wurzel wird zu 6. Wurzel, hoch 1 wird zu hoch 2), wodurch letztlich ein positiver Radikand entsteht. Man sollte einen gebrochenen Exponenten also stets nur verändern, wenn der Radikand positiv ist.

Es gilt jedoch stets, sofern der Radikand x positiv ist und der Wurzelexponent a eine natürliche Zahl: Wurzeln lassen sich in Potenzen überführen. Potenzen lassen sich in Wurzeln überführen.

Umwandlung von Wurzel zu Potenz

Mathe-Programme

  • Wurzeln
    Wurzeln
    Hier können Wurzeln berechnt werden. Die Probe erfolgt mit Hilfe des Potenzierens. Wurzelexponent und Radikand dürft ihr frei wählen.
  • Teilweises Wurzelziehen (Wurzeln vereinfachen)
    Teilweises Wurzelziehen (Wurzeln vereinfachen)
    Dieses Programm vereinfacht euch eine Wurzel so weit wie möglich, indem es die Quadratzahlen herauslöst.
  • Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren)
    Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren)
    Dieses Programm zeigt, wie man sich dem Wurzelwert aus einer natürlichen Zahl annähern kann (Quadratwurzel).
  • Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung)
    Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung)
    Dieses Programm nähert sich dem Wert einer Wurzel mittels Intervallschachtelung an.

Die letzten beiden Programme Heron-Verfahren und Intervallschachtelung zeigen euch, wie man Wurzeln selbst berechnen kann. Wie das genau funktioniert, erklären wir euch in der Lektion Wurzelgleichungen, Video 5.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Hinweis: Wenn ihr die Videos zu den Wurzeln gesehen habt, seid ihr in der Lage, die folgenden Aufgaben problemlos ohne Taschenrechner zu lösen. Viel Erfolg!

A: Grundlegende Fragen zu den Wurzeln

1. Beschreibe kurz, was wir mit der Quadratwurzel berechnen können.

2. Wie wird bei 2√9 die 9 bezeichnet?

3. Wie wird bei 3√8 die 3 bezeichnet?

4. Wenn sich keine Zahl vorne auf dem Wurzelstrich √9 befindet, um welche Wurzel handelt es sich dann? Wie lautet die Bezeichnung?

5. Was haben Wurzel und Potenz miteinander zu tun?

6. Wie nennt man das Wurzelziehen noch?

7. Darf man aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel ziehen? Mit Begründung.

8. Gibt es die nullte Wurzel aus einer Zahl? Mit Begründung.


B: Wurzelaufgaben 1 - Quadratwurzeln ziehen

Berechne die folgenden Quadratwurzeln ohne Hilfsmittel:

1. √9 = …
2. √25 = …
3. √49 = …
4. √81 = …
5. √100 = …
6. √121 = …
7. √196 = …
8. √225 = …


C: Wurzelaufgaben 2 - Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten

Berechne die folgenden Wurzeln ebenfalls ohne Hilfsmittel. Diesmal haben wir Wurzelexponenten, die größer als 2 sind, also keine Quadratwurzel mehr.

1. 3√8 = …
2. 3√27 = …
3. 3√125 = …
4. 3√1000 = …
5. 4√10000 = …
6. 4√16 = …
7. 5√32 = …
8. 4√81 = …
9. 7√1 = …
10. 19√0 = …


D: Wurzelaufgaben 3 - Wurzeln mit negativen Wurzelexponenten

Die folgenden Wurzeln haben Wurzelexponenten, die negativ sind. Nutzt die entsprechende Regel, wie man solche Wurzeln umwandeln kann, um die Wurzeln ausrechnen zu können.

1. -3√8 = …
2. -2√64 = …
3. -7√1 = …
4. -5√32 = …
5. -3√216 = …
6. -4√625 = …


E: Wurzelaufgaben 4 - Wurzelterme vereinfachen

Als nächstes sollt ihr die Wurzelterme vereinfachen bzw. ausrechnen. Erinnert euch an die Wurzelgesetze und die Potenzgesetze sowie daran, dass ihr Wurzeln in Potenzen umwandeln könnt. Notiert bitte den Rechenweg!

1. √x2 = …
2. √x4 = …
3. 4√x8 = …
4. 3√y27 * y3 = …
5. 2√y7 * 4√y6
6. -2√y2 * 2√y2
7. 4√y2 : 4√y-6
8. 23√y323√y9


F: Wurzelaufgaben 5 - Verschachtelte Wurzeln

Die folgenden Wurzeln sind verschachtelt. Löst die Wurzelterme so weit wie möglich auf.

Wurzelaufgaben verschachtelte Wurzeln


G: Wurzelaufgaben 6 - Teilweises Wurzelziehen

Zieht als nächstes bitte die teilweisen Wurzeln aus den Zahlen bzw. Termen so weit wie möglich. Man sagt hierzu auch "Wurzeln vereinfachen".

Hierzu müsst ihr die größtmögliche Quadratzahl aus dem Radikanden herausdividieren, ohne dass ein Rest entsteht. Nehmt die Primfaktorzerlegung wie folgt zu Hilfe:
Beispiel: √80
80 = 2*2*2*2*5
80 = 4 * 4 *5
80 = 42 *5
→ √80 = √(42*5) = √(16*5) = √16 * √5 = 4*√5

Aufgaben:
1. √250 = …
2. √200 = …
3. √98 = …
4. √243 = …
5. √90 = …
6. √32 = …
7. √180 = …
8. √392 = …


H: Wurzelaufgaben 7 - Wurzeln aus Brüchen ziehen

Zieht die Wurzeln aus den Brüchen. Denkt daran, die Regel besagt, dass ihr die Wurzel auf Zähler und Nenner ziehen dürft!

Wurzelaufgaben: Wurzel aus Brüchen


I: Vermischte Wurzelaufgaben

Im Folgenden sind Aufgaben zu lösen, die euch so oder ähnlich in einer Abschlussprüfung begegnen könnten.

1. Du sollst die Seitenlänge eines Quadrats bestimmen. Das Quadrat hat eine Gesamtfläche von 100 cm². Wie lang ist jede Seite?

2. Berechne 4√5 * 5√5

3. Fülle die Lücke: ___ * √3 = 6

4. Fülle die Lücke: ___ * √2 = 10

5. Mache den Nenner rational beim Bruch: 3 / √5
Hinweis: Rational machen heißt hier, die irrationale Zahl √5 durch Erweitern des Bruches zu einer rationalen Zahl (z. B. 5) zu machen.

6. Wie lauten die Ergebnisse bei √0,25 und bei √1,21?

7. Bei welcher Zahl entspricht der Radikand gleich seinem Wurzelwert?

8. Ein Würfel hat eine Oberfläche von 60 cm². Berechne die Seitenlänge und das Volumen.

9. Kann man √5 + √5 irgendwie vereinfachen (kürzer schreiben)?

10. Du sollst die Diagonale bei einem Quadrat bestimmen. Die Quadratsseite hat allgemein die Länge x. Wie lang ist die Diagonale?


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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