TRI08: Trigonometrische Funktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

Mit dem Wissen zum Einheitskreis sind wir nun in der Lage, einen Schritt weiter zu gehen. Wir treffen auf die elementaren Trigonometrischen Funktionen, also: 1. Sinusfunktion, 2. Kosinusfunktion, 3. Tangensfunktion. Vielleicht habt ihr euch auch schon immer gefragt, weshalb die Sinusschwingung so gekrümmt aussieht, eine einfache Erklärung bietet das folgenden Video.

Mathe-Video TRI08-1 Trigonometrische Funktionen - Einführung Sinusfunktion

Was bedeutet Sinus-Funktion, wie ergibt sie sich? Wir stellen die Sinusfunktion im Koordinatensystem dar und erhalten einen geschwungenen Graphen (Sinuskurve). Beispiel aus dem Alltag: Beschreibung der Flughöhe eines Balles, der an einer Feder befestigt ist.

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  • TRI08-2 Trigonometrische Funktionen - Kosinusfunktion + Periode

    Wie ergibt sich die Kosinusfunktion? Einführung der Periode bei Sinus und Kosinus. Darstellung der (Ko)Sinusfunktion im Einheitskreis. Kosinus-Schwingung am Beispiel des Pendels! Lineare Bewegung kontra Kosinusschwingung.

  • TRI08-3 Trigonometrische Funktionen - Tangensfunktion

    Wie ergibt sich die Tangensfunktion? Der Tangensgraph unterscheidet sich vom (Ko)Sinusgraphen. Auch klären wir, wie man die Periode der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion notiert, für Sinus: sin(α) = sin(α + k·360°)

  • TRI08-4 Trigonometrische Funktionen - Allgemeine Sinusfunktion

    Wie lässt sich die Sinusfunktion verändern? Wir betrachten die Funktionsgleichung f(x) = a·sin(b·x + c) + d und klären die Bedeutung der einzelnen Variablen. Wir strecken und stauchen den Sinusgraphen und spiegeln ihn.

  • TRI08-5 Trigonometrische Funktionen - Kosinus- und Tangensfunktion

    Wir verschieben die Sinusfunktion entlang der Achsen und schauen uns an, wie sich die Kosinus- und Tangensfunktion verändern lassen. Auch klären wir in diesem Zusammenhang die Begriffe Amplitude, (Kreis)Frequenz und Phasenverschiebung.

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Wissen zur Lektion

Einführung

Damit wir das Thema verstehen können, müssen wir die Lektion Einheitskreis gesehen haben. Dort haben wir gelernt, wie man Sinus und Kosinus für alle beliebigen Winkel definieren kann. Den Einheitskreis benötigen wir nun, um die trigonometrischen Funktionen darstellen zu können.

Die trigonometrischen Funktionen nennt man auch „Winkelfunktionen“. Zu ihnen gehören Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion (sogenannte „elementare trigonometrische Funktionen“).

Was ist eine Funktion? (Wiederholung)

Bei den linearen Funktionen hatten wir den Funktionsbegriff kennengelernt. Bei der Funktionsgleichung f(x) = 2·x erkennen wir, dass der Name der Funktion “f” ist. Zudem ist hier eine Variable x definiert, für die ein Wert eingesetzt wird, und darauf (nach dem Istgleich) die Berechnung dieser Funktion folgt. Schließlich kommt ein y-Wert heraus. Daraus ergeben sich dann Wertepaare x und y, die unsere Punkt-Koordinaten darstellen. Wir können die Funktion damit zeichnen.

Eine Funktion meint also eine Zuordnung, bei der jeder x-Wert einen y-Wert zugeordnet bekommt.

Was ist die Sinusfunktion?

Bei der Sinusfunktion haben wir kein f(x), sondern ein sin(x). “sin” ist der Name der Funktion. Bei diesem sin(x) setzen wir einen x-Wert ein und ein Sinuswert kommt heraus. Das x ist dabei ein Winkel.

Denken wir an den Einheitskreis:

Sinus von 0° hat die Höhe 0.

Sinus von 90° hat die Höhe 1.

Das heißt, jede Gradzahl (0°, 90°) erhält einen Sinuswert (0, 1) zugeordnet. Diese Wertepaare ergeben x- und y-Koordinaten für unsere Punkte.

sin(0°) = 0 → P1 (0°|0)

sin(90°) = 1 → P2 (90°|1)

Bitte achtet darauf, dass wir für x immer Winkelwerte einsetzen (Gradmaß wie 90° oder aber Bogenmaß wie 1 rad, das lernen wir später kennen). Rufen wir uns den Einheitskreis in Erinnerung:

Vom Einheitskreis zur Sinusfunktion

Erinnern wir uns an die Zuordnung im Einheitskreis: Ein Winkel α (an der Kreislinie abzulesen) erhält einen Sinuswert (die Höhe, siehe y-Achse). Den x-Wert ignorieren wir (dies wäre der Kosinuswert des Winkels).

0° hat die Höhe 0 → sin(0°) = 0

60° hat die Höhe 0,866 → sin(60°) = 0,866

allgemein: Winkel α hat die Höhe y → sin(α) = y

Tragen wir diese Wertepaare: Winkel und Sinuswert (allgemein als Punkt (α|sin(α))) in ein zweites Koordinatensystem ein. Am Einheitskreis lesen wir hierzu auf der Kreislinie die Winkel von 0° bis 360° ab, und die Höhe y zeigt uns die Sinuswerte an.

In dem zweiten Koordinatensystem tragen wir die Winkel auf der x-Achse ein. Also 0°, 90°, 180°, 270° und 360°. Stellen wir uns vor, dass wir die Kreislinie aufschneiden und abrollen. Passt unbedingt auf: Die x-Werte im zweiten Koordinatensystem sind die Winkelwerte in Grad. Im Gegensatz dazu ist das x am Einheitskreis der Kosinuswert, den wir uns später anschauen.

Setzen wir für jeden einzelnen Winkel die entsprechende Höhe, den Sinuswert, ein. Jeder Winkel bekommt eine Höhe (Sinuswert) zugeordnet.

Einheitskreis zu Sinusfunktion 0 Grad

Bei 0 Grad haben wir eine Höhe von 0, siehe y-Achse, der y-Wert ist 0 (das ist unser Sinuswert). Wir merken uns sin(0°) = 0.

Einheitskreis zu Sinusfunktion 90 Grad

Wir erkennen, dass sich bei den Winkelwerten von 0° bis 90°die Sinuswerte von 0 auf 1 erhöhen. Bei 90° erreichen wir schließlich die 1, der maximale Wert, den Sinus annehmen kann.

Einheitskreis zu Sinusfunktion 180 Grad

Von 90° bis 180° nimmt der Sinuswert wieder ab und bewegt sich Richtung 0. Bei 180° erreicht er 0.

Einheitskreis zu Sinusfunktion 270 Grad

Von 180° bis 270° werden die Sinuswerte negativ, weil wir uns unterhalb von y = 0 befinden. Wenn wir 270° erreichen, dann haben wir den Sinuswert -1. Also: sin(270°) = -1.

Einheitskreis zu Sinusfunktion 360 Grad

Gehen wir von 270° zu 360° nimmt unser Sinuswert von -1 bis 0 wieder zu. Bei 360° ist der Sinuswert 0.

Wie wir sehen, ergibt sich auf diese Weise der Graph der Sinusfunktion von 0° bis 360°. Hier können wir für jeden Winkel (x-Achse) den entsprechenden Sinuswert (y-Achse) ablesen. Dieser Funktionsgraph wird wegen seines Verlaufs auch auch „Sinuskurve“ oder „Sinusschwingung“ genannt.

Entstehung des Sinusgraphen (Animation)

Schauen wir uns das noch einmal als Animation an. Wir laufen den Einheitskreis entlang und zeichnen Winkel und Sinuswert (Höhe) in das zweite Koordinatensystem ein.

Animation: Einheitskreis zu Sinusgraph

Um Sinuswerte zu ermitteln, können wir jetzt statt des Einheitskreises die Sinusfunktion benutzen. Wenn uns also jemand nach sin(90°) fragt, können wir mit Blick auf den Graphen erkennen, dass bei 90° der Sinuswert 1 ist. Bei sin(180°) ist der Sinuswert 0. Bei sin(270°) beträgt er -1 und bei 360° haben wir den Sinuswert 0.

Jetzt kennen wir den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Sinusfunktion.

Beispiel eines Ballwurfes

Der Verlauf des Sinusgraphen ist nicht “rund” wie beim Kreis, sondern geschwungen. Nehmen wir uns ein Beispiel, das auch den Verlauf des Graphen erklärt. Stellen wir uns vor, im Zentrum des Koordinatensystems befindet sich ein Ball, den wir nach oben werfen. (Damit es physikalisch korrekt ist, befestigen wir eine Feder am Ball, die ihn wieder zurücktreibt, wenn er ganz oben ist, die Gravitationskraft vernachlässigen wir). Die x-Achse soll jetzt nicht die Winkel wiedergeben, sondern den zeitlichen Verlauf (z. B. in Millisekunden). Der Ball wird eine gewisse Höhe erreichen und dann zurückkommen durch die Kraft der Feder.

Animation: Ballwurf nach oben und Sinuskurve

Zuerst ist der Ball sehr schnell, dann wird er langsamer, und ganz oben verharrt er bei 1. Er hat sozusagen 100 % seiner Wurfhöhe erreicht. Danach kehrt er wieder zurück und wird, je näher er der 0 kommt, schneller werden. Dieses kleine Beispiel soll euch zeigen, warum der Sinusgraph so geschwungen ist.

Der Graph der Sinusfunktion verrät uns, um wie viel der Sinuswert, also im Ballbeispiel die Höhe, zunehmen wird von einem Winkel zu einem anderen Winkel (oder von einer Millisekunde zur nächsten Millisekunde). Denn wenn der Ball die Hälfte der Zeit fliegt (bzw. von 0° zu 45°), heißt das nicht, dass er die Hälfte des Weges nach oben geflogen ist. Die Höhen unterscheiden sich! Gehen wir zum Beispiel von 0° zu 20°, also sin(0°) = 0 und sin(20°) = 0,342 sehen wir, dass 34,2 % der Strecke erreicht ist. Prüfen wir die gleiche Winkelspanne (bzw. Zeitverlauf) von 70° zu 90° mit sin(70°) = 0,940 (bei 70° haben wir 94 % der Strecke erreicht) und sin(90°) = 1, also 100 % der Strecke. Das heißt, wir haben von 94 % zu 100 % nur 6 % der Strecke zurückgelegt. Am Anfang hatten wir 0° + 20° gerechnet und 34 % zurückgelegt. Am Ende hatten wir 70° + 20° gerechnet und nur eine Höhe von 6 % zurückgelegt. Und genau dieses Verhalten beschreibt uns der Graph der Sinusfunktion.

Merken: Die Zunahme des Sinuswertes von einem Grad zum nächsten Grad ist unterschiedlich.

Kosinusfunktion

Als nächstes lernen wir die Kosinusfunktion kennen. Hier verwenden wir wieder den Einheitskreis und tragen jetzt statt der Höhe (Sinus) die Breite (Kosinus) ab. Die Werte für Kosinus befinden sich beim Einheitskreis also auf der x-Achse und nicht auf der y-Achse. Wir übertragen also die x-Werte beim Einheitskreis auf die y-Achse des zweiten Koordinatensystems.

Gehen wir alle Winkel mit Kosinuswerten ab, so erhalten wir folgende markante Punkte und den folgenden Graphen:

Einheitskreis zu Kosinusfunktion 0 Grad

Der Kosinus von 0° ist 1 → cos(0°) = 1

Einheitskreis zu Kosinusfunktion 90 Grad

Der Kosinus von 90° ist 0 → cos(90°) = 0

Einheitskreis zu Kosinusfunktion 180 Grad

Der Kosinus von 180° ist -1 → cos(180°) = -1

Einheitskreis zu Kosinusfunktion 270 Grad

Der Kosinus von 270° ist 0 → cos(270°) = 0

Einheitskreis zu Kosinusfunktion 360 Grad

Der Kosinus von 360° ist 1 → cos(360°) = 1

Wie wir sehen, erhalten wir einen geschwungenen Graphen. Dieser Graph sieht dem Sinusgraphen recht ähnlich. Wie wie wir später sehen werden, entspricht der Graph tatsächlich dem Sinusgraphen, jedoch wurde er um 90° verschoben. Das sehen wir, wenn wir beispielsweise das Graphenstück von 90° bis 180° bei der Sinusfunktion betrachten. Dies entspricht dem Graphenstück von 0° bis 90° bei der Kosinusfunktion.

Entstehung des Kosinusgraphen (Animation)

Schauen wir uns die Entstehung des Kosinusgraphen noch einmal als Animation an. Wir laufen den Einheitskreis entlang und zeichnen Winkel und Kosinuswert (Breite) in das zweite Koordinatensystem als Winkel und Höhe ein.

Animation: Einheitskreis zu Kosinusgraph

Periodische Funktionen

Periode kommt vom griech. „periodos“ und heißt „umrunden“ und meint eine Wiederholung. Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, das heißt, sie wiederholen sich in ihrem Verlauf. Beim Einheitskreis können wir 360° um den Kreis gehen, danach sind wir an der gleichen Position (360° = 0°). In diesem zweiten Kreisumlauf können wir die Winkel um +360° erhöht betrachten. Das hatten wir auch bei den Identitäten gesehen. 420° hat den gleichen Sinuswert wie 60°, also sin(420°) = sin(60° + 360°) = sin(60°). Das gleiche Prinzip gilt für den Kosinus.

Die Sinuswerte wiederholen sich immer mit jeder Kreisumrundung, also +360°, obwohl sich die Winkelwerte erhöhen.

Animation: Einheitskreis periodisch

~plot~ sin(x);zoom[[-10|12|-2|2]] ~plot~

Wir sehen: Die Schwingung wiederholt sich, sie ist periodisch. Gleiches gilt für den Kosinus.

~plot~ cos(x);zoom[[-10|12|-2|2]] ~plot~

Die Kosinusfunktion ist periodisch, sie wiederholt sich immer in ihren Werten.

Graph der Sinusfunktion im Einheitskreis

Wir können uns die Periodizität auch vor Augen führen, wenn wir den Sinusgraphen direkt in den Einheitskreis einzeichnen. Wenn wir von 0° zu 90° gehen, sehen wir, dass wir den Graphen oben bei 1 erreichen. Also Sinus von 90° ist 1. Und gehen wir jetzt zu 180°, nimmt unser Sinuswert ab, und wir erreichen die 0. Gehen wir weiter, kommen wir bei 270° zum Sinuswert -1 und bei 360° wieder zur 0. Hier können wir jetzt eben auch 360° hinzuaddieren und sehen, dass sich für die höheren Winkel der gleiche Verlauf ergibt. Oder aber, wir könnten hier 360° abziehen und hätten auch den gleichen Verlauf. Mit eingezeichneter Periode sieht das so aus (periodische Schwingung):

Animation: Sinusgraph im Einheitskreis

Der Sinusgraph ist periodisch, denn all seine Werte wiederholen sich alle 360°.

Graph der Kosinusfunktion im Einheitskreis

Wenn wir das Gleiche mit dem Kosinusgraphen machen möchten, müssen wir ihn von oben nach unten zeichnen. Auch hier erkennen wir die periodische Schwingung:

Animation: Kosinusgraph im Einheitskreis

Der Kosinusgraph ist periodisch, denn all seine Werte wiederholen sich alle 360°.

Kosinusschwingung bei einem Pendel

Solch eine Kosinusschwingung können wir mit einem Pendel erzeugen. Wenn wir ein Pendel loslassen, wird es von links nach rechts schwingen. Es hat links bzw. rechts den maximalen Ausschlag mit einer Geschwindigkeit von 0. In der Mitte ist es am schnellsten.

Animation: Pendel und Kosinusfunktion

Schauen wir uns zum Vergleich eine lineare Bewegung an. In diesem Fall bewegt sich das Pendel mit gleichen Schritten nach links bzw. rechts.

Animation: Pendel und lineare Bewegung

Die Schritte bei der linearen Bewegung sind immer konstant. Die Schritte bei der Kosinusschwingung sind unterschiedlich. Beispiel für solch unterschiedliche Kosinuswerte:

cos(1°) ≈ 1,000 und cos(1°+1°) = cos(2°) = 0,999 ergibt Differenz 0,001.

cos(24°) = 0,914 und cos(24°+1°) = cos(25°) = 0,906 ergibt Differenz 0,008.

cos(45°) = 0,707 und cos(45°+1°) = cos(46°) = 0,695 ergibt Differenz 0,012.

Gehen wir einen “Winkelschritt” von 1° zu 2° legen wir nur 0,001 zurück. Gehen wir einen “Winkelschritt” von 24° zu 45° legen wir 0,008 zurück, also nicht den gleichen Wert, sondern einen veränderten.

Tangensfunktion

Zur Erinnerung: Tangens ergibt sich aus Sinus/Kosinus. Zum Beispiel: Tangens von 45° = Sinus (45°) / Kosinus (45°) = 0,707 / 0,707 = 1. Wir schreiben also tan(45°) = 1.

Tangenswerte können positiv und negativ sein und im Gegensatz zu Sinus und Kosinus alle beliebigen Werte annehmen.

Als nächstes wollen wir die Tangenswerte den entsprechenden Winkeln zuordnen.

Graph der Tangensfunktion

Zeichnen wir den Graphen in ein zweites Koordinatensystem ein. Tangens von 0° ist 0. Wenn wir zu 45° gehen, dann haben wir Tangens von 45° ist 1. Und wenn wir über 45° gehen, erhalten wir immer höhere Werte. Wenn wir über 90° gehen (bei 90° ist der Tangens nicht definiert), bekommen wir negative Werte. Beispiel tan(135°) = -1. Bei tan(180°) erreichen wir den Tangenswert 0. Wie bei tan(90°) ist auch tan(270°) nicht definiert.

Animation: Graph der Tangensfunktion

Wie wir erkennen, erhalten wir immer diese geschwungenen Linien, die uns die Tangenswerte wiedergeben. Anders als bei den Graphen für Sinus und Kosinus haben wir hier keine Welle, sondern einen leicht geschwungenen nach oben gehenden Graphen, dessen Wert 0 ist bei 0°, 180° und 360°. Die Periode liegt hier zwischen 90° und 270°. Die Periode ist im Vergleich zu Sinus und Kosinus kürzer. Sie beträgt 180°, und bei Sinus und Kosinus 360°.

Periode beim Tangens

Auch beim Tangensgraphen erkennen wir eine Periodizität. Jeder Winkel α erhöht um +360° hat den gleichen Tangenswert. Die Tangenswerte wiederholen sich, die Tangensfunktion ist periodisch.

Definitionslücken bei Tangens

Wir sehen beim Tangensgraphen auch die sogenannten Definitionslücken, also die Stellen, wo sich kein y-Wert zuordnen lässt. Beim Einheitskreis hatten wir gelernt, dass wir für tan(90°) keinen Wert haben. Er war nicht definiert, da tan(90°) = sin(90°) / cos(90°) = 1 / 0 = nicht definiert. Gleiches bei tan(270°). Für „nicht definiert“ können wir im Graphen keinen Wert einzeichnen, wir sagen Definitionslücke dazu. Bei 90° und bei 270° haben wir keinen Wert zum Eintragen.

Periode notieren für Sinus und Kosinus

Die Periode können wir bei Sinus, Kosinus und Tangens rechnerisch angeben. Unser Sinuswert sin(α) ist genauso groß wie der Sinuswert sin(α+360°). Wir könnten jetzt auch 2·360° oder 3·360° oder (-5)·360° wählen und hätten immer noch den gleichen Sinuswert. Wir können hier beliebige ganze Zahlen eintragen, was uns zu folgender Formel führt: sin(α) = sin(α+k·360°).

Gleiches gilt für die Kosinusfunktion: cos(α) = cos(α+k·360°).

Betrachten wir uns als nächstes, wie wir Sinus, Kosinus und Tangens in ihrem Verlauf verändern können und welche Eigenschaften sie haben.

Allgemeine Sinusfunktion

Schauen wir uns an, wie wir die trigonometrischen Funktionen verändern können. Beim Beispiel des Pendels können wir eine höhere Geschwindigkeit wählen oder es weniger ausschwingen lassen, so verändert sich der Verlauf des Graphen:

Animation: Pendel mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten

Es lassen sich Funktionsgleichungen für Sinus und Kosinus aufstellen, mit denen wir diese verschiedenen Graphen beschreiben können.

Schauen wir uns an, wie wir die Sinusfunktion verändern können. Wir schreiben als erstes f(x) = sin(α). Legen wir jetzt jedoch fest, dass der Winkel nun nicht α sondern x heißen soll:

f(x) = sin(x)

Möglichkeiten zur Veränderung der Sinusfunktion:

1. Sinuswert verändern mit Faktor: f(x) = a · sin(x)

Wir multiplizieren den Sinuswert mit einem Faktor. Beeinflusst wird der “Ausschlag” unserer Sinusfunktion. Der Fachbegriff heißt “Amplitude”.

Beispiel: f(x) = 2 · sin(x) → Jeder Wert verdoppelt sich. Der Sinusgraph wird gestreckt in y-Richtung.

~plot~ 2*sin(x);sin(x) ~plot~

Ist der Vorfaktor a negativ, so spiegelt sich der Sinusgraph an der x-Achse.

Beispiel: f(x) = -0,5 · sin(x) → Jeder Wert halbiert sich (Sinusgraph wird gestaucht in y-Richtung) und ändert sein Vorzeichen.

~plot~ -0.5*sin(x);sin(x) ~plot~

2. Winkel verändern mit Faktor: f(x) = sin(b · x)

Wir multiplizieren den Winkel mit einem Faktor.

Beispiel: f(x) = sin(3 · x) → Die Schwingung wird drei Mal schneller, weil die Winkel “schneller” durchlaufen werden. Der Sinusgraph wird gestaucht in x-Richtung (wir verändern die sogenannte Periode). Beispiel: Setzen wir 90° ein, entspricht dies 3·90°, also 270°. Wo x = 90° ist, ist jetzt der Wert für sin(270°) einzutragen. Alle Werte zwischen 0° und 360° wurden jetzt angepasst auf Werte zwischen 0° und 120° (360° / 3).

~plot~ sin(3*x);sin(x) ~plot~

Beispiel: f(x) = sin(0,5 · x) → Jeder Winkelwert halbiert sich (Sinusgraph wird gestreckt in x-Richtung). Die Winkel werden zwei Mal langsamer durchlaufen.

~plot~ sin(0,5*x);sin(x);zoom ~plot~

Beispiel: f(x) = sin(-1 · x) → Jeder Winkelwert ändert sein Vorzeichen, der Verlauf ist “rückwärts” und damit spiegelt sich der Graph an der y-Achse.

~plot~ sin(-1*x);sin(x) ~plot~

3. Winkel verändern: f(x) = sin(x + c)

Wir addieren einen Wert zum Winkel. Man nennt dies “Phasenverschiebung”.

Beispiel: f(x) = sin(x + 90°) → Wir verschieben den idealen Verlauf der Sinusfunktion 90° nach links. Beim Winkel 0° galt sin(0°) = 0, dieser Sinuswert 0 wird nun zu 1, da sin(0° + 90°) = sin(90°) = 1.

~plot~ sin(x+pi/2);sin(x) ~plot~

Wir hatten gesagt, dass der Kosinus der um 90° verschobene Sinus ist. Erinnern wir uns: cos(0°) = 1. cos(90°) = 0. Wenn wir nun 90° herauf addieren, also c = 90° bei sin(x + c) verwenden, haben wir den Kosinusgraphen.

cos(0°) = 1 = sin(90°)
cos(90°) = 0 = sin(180°)
cos(180°) = -1 = sin(270°)
cos(270°) = 0 = sin(360°)
cos(360°) = 1 = sin(450°)

~plot~ sin(x);cos(x) ~plot~

4. Sinuswert verändern: f(x) = sin(x) + d

Wir addieren einen Wert zum Sinuswert.

Beispiel: f(x) = sin(x) + (-1) → Jeder Sinuswert wird um -1 verändert, also um -1 nach unten verschoben. Mit diesem Parameter lässt sich der Graph nach oben oder unten verschieben.

~plot~ sin(x)-1;sin(x) ~plot~

Zusammenfassung Sinusfunktion f(x) = a · sin(b·x + c) + d

Es gibt also vier Parameter (die Variablen a, b, c und d), mit denen wir unseren Funktionswert, das Ergebnis, verändern können. Damit verändern wir auch den Sinusgraphen in seinem Verlauf.

Allgemeine Form der Sinusfunktion:

f(x) = a · sin(b·x + c) + d

Sinusfunktion Parameter ablesen

Wir sagen „allgemeine Sinusfunktion“, da wir nicht nur sin(x) haben, sondern weitere Elemente in der Funktionsgleichung. Jede Variable hat eine Auswirkung auf den Verlauf des Graphen.

Zum Selbstentdecken: Es gilt -sin(x) ist das Gleiche wie sin(-x). Beide Gleichungen spiegeln den Graphen. Du solltest diesen Zusammenhang mit dem Wissen oben nun selbst verstehen können.

Allgemeine Tangensfunktion

Der Graph der Tangensfunktion lässt sich ebenfalls mit diesen vier Parametern verändern:

Allgemeine Form der Tangensfunktion:

f(x) = a · tan(b·x + c) + d

Parameter a: Wenn wir das a erhöhen, erhöhen sich alle Tangenswerte entsprechend. Bei 2·tan(...) wird jeder einzelne Wert verdoppelt. Ist a 0,5 so halbieren sich die Wert.

~plot~ tan(x);2*tan(x);0.5*tan(x) ~plot~

Wenn a negativ ist, so spiegeln wir den Tangensgraphen.

~plot~ tan(x);-tan(x) ~plot~

Parameter b: Wenn wir unseren Winkel mit b = 2 multiplizieren, wird der Tangensgraph entlang der x-Achse gestaucht. Wenn wir einen Wert unter 1 einsetzen, so strecken wir die Tangesfunktion entlang der x-Achse.

~plot~ tan(x);tan(2*x);tan(0.5*x) ~plot~

Bei negativen Werten spiegeln wir die Tangesfunktion.

~plot~ tan(x);tan(-x) ~plot~

Parameter c: Addieren wir ein c = 90° herauf, so verschieben wir den Tangensgraphen nach links. Wählen wir einen negativen Wert wie c = -45°, so verschieben wir den Graphen nach rechts.

~plot~ tan(x);tan(x+pi/2);tan(x-pi/4) ~plot~

Parameter d: Addieren wir einen Wert, so verschiebt sich der Graph nach oben oder unten.

~plot~ tan(x);tan(x)+1;tan(x)-2 ~plot~

Fachbegriffe

Die Parameter a, b, c und d haben Fachbegriffe, die man auch in der Physik wiederfindet.

f(x) = a · sin(b·x + c) + d

Parameter a - Amplitude

„Amplitude“ (lat. „amplitudo“ = „Größe“) meint die Ausdehnung (maximale Bereich). Die Amplitude ist die halbe Strecke zwischen größten und kleinsten Ausschlag. Beispiel: Größter Ausschlag ist 1, kleinster Ausschlag ist -1. Die Strecke dazwischen beträgt 2. Das heißt die Amplitude ist 2/2 = 1. Die Amplitude ist eine Strecke und wird immer positiv angegeben.

Parameter b - Frequenz

„Frequenz“ (lat. „frequentia“ = „Häufigkeit“) meint die Häufigkeit einer Schwingung in einem Intervall, wie zum Beispiel von 0° bis 360°. Eine Sinusschwingung kann in diesem Bereich sein, dann b = 1. Bei b = 2 haben wir zwei Mal eine Sinusschwingung im Bereich 0° bis 360°.

Periode: Rechnen wir 360° durch die Frequenz b, so erhalten wir die Periode. Also 360°/2 ergibt 180°. Das heißt von 0° bis 180° haben wir eine Sinusschwingung. Deshalb sagt man zur Periode auch Schwingungsdauer.

Parameter c - „Phasenverschiebung”

„Phasenverschiebung“ (lat. „phasis“ = „Erscheinung“) meint die Verschiebung des Graphen nach links oder rechts. Wir verschieben seine Phase, seine Darstellung.

Parameter d - Offset

Für diesen Parameter gibt es keinen besonderen Fachbegriff. Er verschiebt den Graphen nach oben oder unten. In der Elektronik verwendet man den Begriff "Offset". Um diesen Wert herum schwingt unsere Sinusfunktion. Also wenn wir den Wert auf 0,5 setzen, können wir eine Gerade bei 0,5 einzeichnen und dort herum schwingt der Graph.

Jetzt haben wir alle wesentlichen Informationen zu den trigonometrischen Funktionen kennengelernt und können diese anwenden.

In der nächsten Lektion lernen wir kennen, warum in den meisten Büchern keine Gradzahlen, sondern das sogenannte Bogenmaß verwendet wird. Also Winkelwerte in der Einheit „Radiant“ angegeben werden, das mit der Kreiszahl π zusammenhängt.

Alle Graphen in der Übersicht

Graph der Sinusfunktion:

Graph der Sinusfunktion

Graph der Kosinusfunktion:

Graph der Kosinusfunktion

Graph der Tangensfunktion:

Graph der Tangensfunktion

Allgemeine Sinusfunktion

f(x) = a·sin(b·x + c) + d

Allgemeine Kosinusfunktion

f(x) = a·cos(b·x + c) + d

Allgemeine Tangensfunktion

f(x) = a·tan(b·x + c) + d

Funktionswerte spezieller Winkel (Tabelle)

Hier eine Aufstellung besonderer Werte von Sinus, Kosinus und Tangens.

Gradmaß 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin(x) 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
cos(x) 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1/2 -1/2 √2 -1/2 √3 -1
tan(x) 0 1/3 √3 1 √3 n.d. -√3 -1 -1/3 √3 0

Sinuskurve im Einheitskreis (Bonus)

Wir haben uns überlegt, wie wir noch besser den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Sinuskurve darstellen können. Dabei ist folgendes Programm entstanden, das euch deutlich zeigt, wie die Höhen des Einheitskreises zu den Sinuswerten im Koordinatensystem werden:

Sinuskurve im Einheitskreis

Mathe-Programme Trigonometrische Funktionen

  • Vom Einheitskreis zur (Ko)Sinusfunktion Vom Einheitskreis zur (Ko)Sinusfunktion
    Vom Einheitskreis zur Sinus- und Kosinusfunktion. Indem wir die Sinuswerte für jeden Winkel abtragen, erhalten wir die Sinusschwingung.
  • Pendel und Kosinusschwingung Pendel und Kosinusschwingung
    Darstellung der Kosinusschwingung anhand eines Pendels. Zeichnet den Verlauf des Pendels ein und ihr erkennt die Kosinusschwingung. Die Pendelbewegung lässt sich auch linear einstellen.
  • Vom Einheitskreis zur Tangensfunktion Vom Einheitskreis zur Tangensfunktion
    Dieses Programm zeichnet die Tangenswerte vom Einheitskreis für den jeweiligen Winkel in ein zweites Koordinatensystem. So entsteht der Graph für Tangens.
  • Sinusfunktion (allgemein) Sinusfunktion (allgemein)
    Mit diesem Programm könnt ihr die allgemeine Sinusfunktion der Form f(x) = a*sin(b*x + c) + d verändern. Die Änderungen am Graphen werden live angezeigt.
  • Kosinusfunktion (allgemein)
    Kosinusfunktion (allgemein)
    Mit diesem Programm könnt ihr die allgemeine Kosinusfunktion der Form f(x) = a*cos(b*x + c) + d verändern. Die Änderungen am Graphen werden live angezeigt.
  • Tangensfunktion (allgemein)
    Tangensfunktion (allgemein)
    Mit diesem Programm könnt ihr die allgemeine Tangensfunktion der Form f(x) = a*tan(b*x + c) + d verändern. Die Änderungen am Graphen werden live angezeigt.
  • Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
    Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
    Die Sinusfunktion (horizontal) und die Kosinusfunktion (vertikal) werden hier in den Einheitskreis eingezeichnet. Neue Variante, um den Zusammenhang darzustellen.
  • Tangensfunktion im Einheitskreis
    Tangensfunktion im Einheitskreis
    Der Graph der Tangensfunktion wird hier in den Einheitskreis eingezeichnet. Dies ist eine neue Variante, um den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Tangensfunktion darzustellen.
  • Sinuskurve und bewegter Einheitskreis
    Sinuskurve und bewegter Einheitskreis
    Hier wird der Einheitskreis in die Sinuskurve eingezeichnet. Dies ist eine neuartige Variante, den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Sinuskurve darzustellen.
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Tags: Trigonometrie, Einheitskreis, Sinus und Kosinus, Sinusfunktion leicht erklärt, Kosinusfunktion Einführung, Tangensfunktion Erklärung, Periode und Amplitude und Frequenz und Phasenverschiebung

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