Mathe G05: Natürliche und Ganze Zahlen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

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Zahlenmengen bereiten einigen Schülern Probleme, dabei ist das Thema nicht schwierig. Bis zum Ende der Schule benötigt ihr diese Zahlenmengen:

ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Brüche)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen

Die ersten beiden ℕ und ℤ behandeln wir in dieser Lektion. Wollt ihr etwas über die anderen Zahlenmengen wissen, klickt einfach auf sie.

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  • G05 Natürliche und Ganze Zahlen

    Wir schauen uns die grundlenden Zahlenmengen an: Die Natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, ...) und die Ganzen Zahlen (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) sowie das Zeichen für Unendlich.

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Wissen zur Lektion

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen man zuerst in Berührung kommt. Angefangen als Kleinkind mit dem Abzählen der Finger. Somit sind die natürlichen Zahlen nichts anderes als 1, 2, 3, 4, 5, … und das kann man unendlich lange fortführen (die liegende Acht " ∞ " ist das Zeichen für unendlich). Man stellt diese Zahlen nicht in Frage, sie sind für jeden "natürlich".

Interessant ist der Fall mit der 0. Gehört sie zu den natürlichen Zahlen oder nicht. Hier gibt es zwei Definitionen. Die eine beinhaltet die 0, die andere nicht. Welche Definition vorliegt, muss beispielsweise beim Lehrer erfragt werden.

Aufgeschrieben werden die natürlichen Zahlen so:

ℕ = {1, 2, 3, 4, …}

Oder mit der enthaltenen 0:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Man schreibt meist eine kleine Null an das N heran, um deutlich zu machen, dass die 0 in der Zahlenmenge enthalten sein soll:
0 = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Bei N ohne die 0 spricht man übrigens von allen „positiven ganzen Zahlen“, während man bei N0 von allen „nichtnegativen ganzen Zahlen“ spricht.

Ganze Zahlen

Da man beispielsweise bei einer Subtraktion von zwei natürlichen Zahlen, bei denen der Subtrahend größer ist als der Minuend (zum Beispiel bei 4 - 9 = -5), nicht mehr die natürlichen Zahlen verwenden kann, gibt es die ganzen Zahlen, die zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch die negativen Zahlen behandeln. Das Formelzeichen ist \(\mathbb Z\) und die Menge wird aufgeschrieben als:

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Die Aufzählung der Zahlen kann in beide Richtungen beliebig lange fortgesetzt werden.

Es gibt weitere Zahlenbereiche, die unter anderem eine Division erlauben, bei der ein Rest übrig bleibt (vgl. rationale Zahlen), aber das soll Thema einer anderen Lektion sein.

Mengenschreibweise

Man verwendet das Zeichen ∈, um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen ∉, um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört. Im Folgenden zwei Beispiele bezüglich der Zahlenmengen:

1 ∈ ℕ ("1 ist Element der Natürlichen Zahlen")
-2 ∉ ℕ ("-2 ist nicht Element der Natürlichen Zahlen")


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  • Grundrechenarten (Natürliche Zahlen)
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    Grundrechenarten bei den Natürlichen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
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Übungsaufgaben

A. Beantworte die folgenden Fragen:

1. Worin unterscheiden sich negative Zahlen von positiven Zahlen?

2. Notiere die kleinste Natürliche Zahl!

3. Notiere die kleinste Ganze Zahl!

4. Nenne 4 gerade Zahlen!

5. Nenne 3 ungerade Zahlen!

6. Was für eine Zahl erhältst Du, wenn Du eine gerade und eine ungerade Zahl addierst?

7. Worin unterscheiden sich die Ganzen Zahlen von den Natürlichen Zahlen?

8. Wie sieht das Zeichen für unendlich aus?

9. Nenne drei Beispiele für negative Zahlen im Alltag!


B. Ergänze die fehlenden Stellen:
1. 5 ∈ __
2. __ ∉ ℕ
3. __ ∈ ℤ
4. 3, 5, __, 9, 11
5. -10, -8, __, -4, -2
6. 10 ∈ ℕ und 10 ∈ __
7. ℤ - ℕ = __
8. ℤ + + ℤ - = __


C. Natürliche und Ganze Zahlen in der Schule + Zusatzfragen
1. Wenn Du Deine Klassenarbeit mit 'gut' zurückbekommst, steht unten eine __. Diese Zahl ist ∈ __

2. Um 12 Uhr ist Mittagspause. 12 ∈ __

3. Wenn Du eine beliebige Zahl (außer Null) mit sich selbst addierst, wechselt dann das Vorzeichen?

4. Wenn Du eine beliebige Zahl (außer Null) von sich selbst subtrahierst, wechselt dann das Vorzeichen?


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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