Brüche dividieren

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Brüche dividieren wir, indem wir den Kehrwert (Reziproke) beim zweiten Bruch bilden. Das heißt, wir vertauschen einfach Zähler und Nenner. Danach können die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert werden.

Beispiel:

$$ \frac{1}{2} : \frac{\color{#00F}{3}}{\color{#F00}{5}} = \frac{1}{2} · \frac{\color{#F00}{5}}{\color{#00F}{3}} = \frac{1·5}{2·3} = \frac{5}{6} $$

Allgemein:

$$ \frac{a}{b}:\frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{d}} = \frac{a}{b}·\frac{\color{red}{d}}{\color{blue}{c}} = \frac{a·\color{red}{d}}{b·\color{blue}{c}} $$

Weiteres Beispiel:

$$ \frac{3}{7}:\frac{\color{blue}{1}}{\color{red}{2}} = \frac{3}{7}·\frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{1}} = \frac{3·\color{red}{2}}{7·\color{blue}{1}} = \frac{6}{7} $$

Division durch Bruch und Multiplikation

Wir können an der letzten Rechnung erkennen, dass die Division durch einen Stammbruch wie \( :\frac{1}{2} \) einer Multiplikation mit einer ganzen Zahl entspricht, also \( \cdot 2 \). Zum Beispiel:

\( \frac{3}{7} \color{#00F}{ :\frac{1}{2} } = \frac{3}{7} · \frac{2}{1} = \frac{3}{7} \color{#00F}{· 2} = \frac{6}{7} \)

Genauso wichtig:

Eine Division durch eine ganze Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden. Ein Beispiel hierzu:

$$ 3\color{red}{:2} = \frac{3}{2} = 3\color{red}{·\frac{1}{2}} = 3:\frac{2}{1} $$

Warum Zähler und Nenner bei der Division von Brüchen vertauschen?

Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss (den Kehrwert bildet) und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:

$$ 1:2 = \color{lightgray}{\frac{1}{2}} = 1·\frac{1}{2} = \color{lightgray}{1:2} = 1:\frac{2}{1} $$

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