Unechte Brüche

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Wir sprechen von „unechten Brüchen“, wenn der Zähler des Bruches größer ist als der Nenner.

Beispiel: \( \color{#00F}{\frac{5}{2}} \)

Weitere Beispiele unechter Brüche: \( \frac{7}{3}, \frac{6}{5}, \frac{25}{7}, \frac{110}{3}, \frac{99}{97} \)

Dividieren wir Zähler und Nenner, so erhalten wir den Dezimalwert des Bruches.

Für die vorgenannten Beispiel ergibt sich:

\( \frac{5}{2} \color{#55F}{ = 2,5 } \quad \frac{7}{3} \color{#55F}{ = 2,\overline{3} } \quad \frac{6}{5} \color{#55F}{ = 1,2 } \quad \frac{25}{7} \color{#55F}{ ≈ 3,57 } \quad \frac{110}{3} \color{#55F}{ = 36,\overline{6} } \quad \frac{99}{97} \color{#55F}{ ≈ 1,02 } \)

Anhand der Dezimalwerte können wir die Brüche in ihrer Größe miteinander vergleichen und sortieren:

\( \frac{99}{97} \color{#55F}{ ≈ 1,02 } \quad \frac{6}{5} \color{#55F}{ = 1,2 } \quad \frac{7}{3} \color{#55F}{ = 2,\overline{3} } \quad \frac{5}{2} \color{#55F}{ = 2,5 } \quad \frac{25}{7} \color{#55F}{ ≈ 3,57 } \quad \frac{110}{3} \color{#55F}{ = 36,\overline{6} } \)

Unechter Bruch (grafisch)

Es sei angemerkt, dass sich unechte Brüche nicht an einem Kreis einzeichnen lassen, da ihr Wert größer als 1 ist. Wir müssen hierzu mehrere Kreise verwenden.

Der unechte Bruch \( \frac{7}{2} \) lässt sich mit 7 Kreishälften darstellen:

Wir haben 7 mal \( \frac{1}{2} \) gezeichnet.

Unechte Brüche vergleichen

Wir hatten bereits gelernt, wie man gleichnamige Brüche sowie ungleichnamige Brüche vergleicht. Das dort Gesagte gilt für die unechten Brüche ebenfalls:

Gleichnamige unechte Brüche vergleichen

Da wir bereits gleiche Nenner vorliegen haben, können wir direkt die Zähler miteinander vergleichen. Ist der Zähler größer, so ist auch der Bruch größer.

Beispiel: \( \frac{7}{2} > \frac{5}{2} \)

Ungleichnamige unechte Brüche vergleichen

Hier müssen wir durch Erweitern oder Kürzen den gleichen Nenner bei beiden Brüchen schaffen. Erst dann lassen sich die Brüche vergleichen.

Wollen wir beispielsweise \( \frac{12}{7} \) mit \( \frac{15}{8} \) vergleichen, so schaffen wir zuerst den gemeinsamen Nenner mit 7·8 = 56, indem wir jeden Bruch entsprechend erweitern:

\( \frac{ 12 \color{#00F}{·8} }{7 \color{#00F}{·8} } = \frac{96}{56} \) sowie \( \frac{ 15 \color{#00F}{·7} }{8 \color{#00F}{·7} } = \frac{105}{56} \)

Dann können wir direkt die Zähler vergleichen: 96 ist kleiner als 105, damit gilt:

\( \frac{96}{56} < \frac{105}{56} \) und \( \frac{12}{7} < \frac{15}{8} \)

Dezimalwerte von Brüchen

Nachfolgend noch der Hinweis, wie man am Dezimalwert des Bruches erkennt, um welchen Typ von Bruch es sich handelt.

  • Ist der Dezimalwert des Bruches zwischen 0 und 1, so handelt es sich um einen echten Bruch.
    Beispiel: \( \frac{1}{4} = 0,25 \) und 0,25 liegt zwischen 0 und 1. Wir schreiben: 0 < 0,25 < 1.
  • Ist der Dezimalwert des Bruches eine ganze Zahl, so ist es ein Scheinbruch.
    Beispiel 1: \( \frac{3}{3} = 1 \) und 1 ist eine ganze Zahl.
    Beispiel 2: \( \frac{15}{3} = 5 \) und 5 ist eine ganze Zahl.
  • Ist der Dezimalwert des Bruches größer als 1, so ist es ein unechter Bruch.
    Beispiel: \( \frac{10}{4} = 2,5 \) und 2,5 ist größer als 1. Wir schreiben: 2,5 > 1.
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