Unechte Brüche

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Wir sprechen von „unechten Brüchen“, wenn der Zähler des Bruches größer ist als der Nenner.

Beispiel: \( \color{#00F}{\frac{5}{2}} \)

Weitere Beispiele unechter Brüche: \( \frac{7}{3}, \frac{6}{5}, \frac{25}{7}, \frac{110}{3}, \frac{99}{97} \)

Dividieren wir Zähler und Nenner, so erhalten wir den Dezimalwert des Bruches.

Für die vorgenannten Beispiel ergibt sich:

\( \frac{5}{2} = 2,5 \qquad \frac{7}{3} = 2,\overline{3} \qquad \frac{6}{5} = 1,2 \qquad \frac{25}{7} ≈ 3,57149 \qquad \frac{110}{3} = 36,\overline{6} \qquad \frac{99}{97} ≈ 1,02062 \)

Anhand der Dezimalwerte können wir die Brüche in ihrer Größe miteinander vergleichen.

Unechter Bruch (grafisch)

Es sei angemerkt, dass sich unechte Brüche nicht an einem Kreis einzeichnen lassen, da ihr Wert größer als 1 ist. Wir müssen hierzu mehrere Kreise verwenden.

Der unechte Bruch \( \frac{7}{2} \) lässt sich mit 7 Kreishälften darstellen:

Wir haben 7 mal \( \frac{1}{2} \) gezeichnet.

Unechte Brüche vergleichen

Wir hatten bereits gelernt, wie man gleichnamige Brüche sowie ungleichnamige Brüche vergleicht. Das dort gesagte gilt für die unechten Brüche ebenfalls:

Gleichnamige unechte Brüche vergleichen

Da wir bereits gleiche Nenner vorliegen haben, können wir direkt die Zähler miteinander vergleichen. Ist der Zähler größer, so ist auch der Bruch größer.

Beispiel: \( \frac{7}{2} > \frac{5}{2} \)

Ungleichnamige unechte Brüche vergleichen

Hier müssen wir durch Erweitern oder Kürzen den gleichen Nenner bei beiden Brüchen schaffen. Erst dann lassen sich die Brüche vergleichen.

Wollen wir beispielsweise \( \frac{12}{7} \) mit \( \frac{15}{8} \) vergleichen, so schaffen wir zuerst den gemeinsamen Nenner mit 7·8 = 56, indem wir jeden Bruch entsprechend erweitern:

\( \frac{ 12 \color{#00F}{·8} }{7 \color{#00F}{·8} } = \frac{96}{56} \) sowie \( \frac{ 15 \color{#00F}{·7} }{8 \color{#00F}{·7} } = \frac{105}{56} \)

Dann können wir direkt die Zähler vergleichen: 96 ist kleiner als 105, damit gilt:

\( \frac{96}{56} < \frac{105}{56} \) und \( \frac{12}{7} < \frac{15}{8} \)

Dezimalwerte von Brüchen

Nachfolgend noch der Hinweis, wie man am Dezimalwert des Bruches erkennt, um welchen Typ von Bruch es sich handelt.

  • Ist der Dezimalwert des Bruches zwischen 0 und 1, so handelt es sich um einen echten Bruch.
    Beispiel: \( \frac{1}{4} = 0,25 \) und 0,25 liegt zwischen 0 und 1. Wir schreiben: 0 < 0,25 < 1.
  • Ist der Dezimalwert des Bruches eine ganze Zahl, so ist es ein Scheinbruch.
    Beispiel 1: \( \frac{3}{3} = 1 \) und 1 ist eine ganze Zahl.
    Beispiel 2: \( \frac{15}{3} = 5 \) und 5 ist eine ganze Zahl.
  • Ist der Dezimalwert des Bruches größer als 1, so ist es ein unechter Bruch.
    Beispiel: \( \frac{10}{4} = 2,5 \) und 2,5 ist größer als 1. Wir schreiben: 2,5 > 1.
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