Formelübersicht Brüche

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Nachstehend eine Übersicht über alle wesentlichen Regeln zum Rechnen mit Brüchen.

1. Bestandteile des Bruches

Ein Bruch ist eine nicht aufgelöste Division (\( 1:2 = \frac{1}{2} \)) und besteht aus Zähler, Bruchstrich, Nenner:

Bestandteile Bruch (Zähler, Bruchstrich, Nenner)

Ein Bruch wird im Gegensatz zu den ganzen Zahlen als gebrochene Zahl bezeichnet.

2. Brüche erweitern

Beim Erweitern von Brüchen werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert:

$$ \frac{2}{5} = \frac{2\color{blue}{·3}}{5\color{blue}{·3}} = \frac{6}{15} $$

Der Wert bleibt gleich! Für das Beispiel 2:5 = 6:15 = 0,4.

3. Brüche kürzen

Beim Kürzen von Brüchen werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl dividiert:

$$ \frac{24}{30} = \frac{24\color{blue}{:6}}{30\color{blue}{:6}} = \frac{4}{5} $$

Der Wert bleibt gleich! Für das Beispiel 24:30 = 4:5 = 0,8.

4. Gleichnamig und ungleichnamig

Wenn die Brüche die gleichen Nenner haben, sagen wir „gleichnamig“. Beispiel: \( \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \)

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sagen wir „ungleichnamig“. Beispiel: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{1}{100} \)

5. Brüche addieren

Bei gleichnamigen Brüchen können wir direkt die Zähler addieren. Der Nenner bleibt auch beim Ergebnis gleich:

$$ \frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5} $$

Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir zuerst durch Erweitern den gleichen Nenner bilden und können dann addieren:

$$ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{1 \color{#00F}{·8}}{5\color{#00F}{·8}} + \frac{1\color{#F00}{·5}}{8\color{#F00}{·5}} = \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{8+5}{40} = \frac{13}{40} $$

Mehr Information hier: Brüche addieren

6. Brüche subtrahieren

Bei gleichnamigen Brüchen können wir direkt die Zähler subtrahieren. Der Nenner bleibt auch beim Ergebnis gleich:

$$ \frac{4}{7} - \frac{1}{7} = \frac{4-1}{7} = \frac{3}{7} $$

Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir zuerst durch Erweitern den gleichen Nenner bilden und können dann subtrahieren:

$$ \frac{3}{7} - \frac{1}{8} = \frac{3 \color{#00F}{·8}}{7\color{#00F}{·8}} - \frac{1\color{#F00}{·7}}{8\color{#F00}{·7}} = \frac{24}{56} - \frac{7}{56} = \frac{24-7}{56} = \frac{17}{56} $$

Mehr Information hier: Brüche subtrahieren

7. Brüche multiplizieren

Brüche multiplizieren wir, indem wir die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multiplizieren:

$$ \frac{1}{6} · \frac{3}{10} = \frac{1·3}{6·10} = \frac{3}{60} $$

Kürzen wir noch das Ergebnis: \( \frac{3}{60} = \frac{3 \color{#00F}{:3}}{60 \color{#00F}{:3}} = \frac{1}{20} \)

Multiplizieren wir einen Bruch mit einer ganzen Zahl, so wandeln wir die ganze Zahl vorher in einen Bruch um:

$$ 7 · \frac{3}{5} = \frac{7}{1} · \frac{3}{5} = \frac{7 · 3}{1 · 5}=\frac{21}{5} $$

8. Brüche dividieren

Brüche dividieren wir, indem wir den Kehrwert des Divisors (der zweite Bruch) bilden und danach die Zähler und Nenner miteinander multiplizieren:

$$ \frac{1}{2} : \frac{\color{#00F}{3}}{\color{#F00}{5}} = \frac{1}{2} · \frac{\color{#F00}{5}}{\color{#00F}{3}} = \frac{1·5}{2·3} = \frac{5}{6} $$

9. Doppelbrüche

Bei einem Doppelbruch ist der Zähler und/oder der Nenner ein Bruch. Beispiel:

$$ \frac{ 7 }{ \frac{2}{3} } = 7 : \frac{2}{3} = 7 · \frac{3}{2} = \frac{7·3}{2} $$

Bruch addieren, Bruch subtrahieren, Bruch multiplizieren, Bruch dividieren
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