Formelübersicht Brüche

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Nachstehend eine Übersicht über alle wesentlichen Regeln zum Rechnen mit Brüchen.

1. Bestandteile des Bruches

Ein Bruch ist eine Division (\( 1:2 = \frac{1}{2} \)) und besteht aus Zähler, Bruchstrich, Nenner:

Bestandteile Bruch (Zähler, Bruchstrich, Nenner)

2. Brüche erweitern

Beim Erweitern von Brüchen werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert:

$$ \frac{2}{5} = \frac{2\color{blue}{·3}}{5\color{blue}{·3}} = \frac{6}{15} $$

Der Wert bleibt gleich! Für das Beispiel 2:5 = 6:15 = 0,4.

3. Brüche kürzen

Beim Kürzen von Brüchen werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl dividiert:

$$ \frac{24}{30} = \frac{24\color{blue}{:6}}{30\color{blue}{:6}} = \frac{4}{5} $$

Der Wert bleibt gleich! Für das Beispiel 24:30 = 4:5 = 0,8.

4. Gleichnamig und ungleichnamig

Wenn die Brüche die gleichen Nenner haben, sagen wir „gleichnamig“. Beispiel: \( \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \)

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sagen wir „ungleichnamig“. Beispiel: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{1}{100} \)

5. Brüche addieren

Bei gleichnamigen Brüchen können wir direkt die Zähler addieren. Der Nenner bleibt auch beim Ergebnis gleich:

$$ \frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5} $$

Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir zuerst durch Erweitern den gleichen Nenner bilden und können dann addieren:

$$ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{1 \color{#00F}{·8}}{5\color{#00F}{·8}} + \frac{1\color{#F00}{·5}}{8\color{#F00}{·5}} = \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{8+5}{40} = \frac{13}{40} $$

Mehr Information hier: Brüche addieren

6. Brüche subtrahieren

Bei gleichnamigen Brüchen können wir direkt die Zähler subtrahieren. Der Nenner bleibt auch beim Ergebnis gleich:

$$ \frac{4}{7} - \frac{1}{7} = \frac{4-1}{7} = \frac{3}{7} $$

Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir zuerst durch Erweitern den gleichen Nenner bilden und können dann subtrahieren:

$$ \frac{3}{7} - \frac{1}{8} = \frac{3 \color{#00F}{·8}}{7\color{#00F}{·8}} - \frac{1\color{#F00}{·7}}{8\color{#F00}{·7}} = \frac{24}{56} - \frac{7}{56} = \frac{24-7}{56} = \frac{17}{56} $$

Mehr Information hier: Brüche subtrahieren

7. Brüche multiplizieren

Brüche multiplizieren wir, indem wir die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multiplizieren:

$$ \frac{1}{6} · \frac{3}{10} = \frac{1·3}{6·10} = \frac{3}{60} $$

Kürzen wir noch das Ergebnis: \( \frac{3}{60} = \frac{3 \color{#00F}{:3}}{60 \color{#00F}{:3}} = \frac{1}{20} \)

8. Brüche dividieren

Brüche dividieren wir, indem wir den Kehrwert des Divisors (zweiter Bruch) bilden und danach die Zähler und Nenner miteinander multiplizieren:

$$ \frac{1}{2} : \frac{\color{#00F}{3}}{\color{#F00}{5}} = \frac{1}{2} · \frac{\color{#F00}{5}}{\color{#00F}{3}} = \frac{1·5}{2·3} = \frac{5}{6} $$

9. Doppelbrüche

Bei einem Doppelbruch ist der Zähler und/oder der Nenner ein Bruch. Beispiel:

$$ \frac{ 7 }{ \frac{2}{3} } = 7 : \frac{2}{3} = 7 · \frac{3}{2} = \frac{7·3}{2} $$

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