Kehrwert bei einer Gleichung

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Den Kehrwert können wir nicht nur bei den Brüchen, sondern auch beim Umformen von Gleichungen verwenden. Hierfür müssen wir die linke Seite der Gleichung sowie die rechte Seite der Gleichung umkehren.

Steht jeweils ein Bruch auf einer Seite, dann gehen wir wie folgt vor:

Beispiel-Gleichung: \( \frac{5}{15} = \frac{3}{9} \)

Beide Seiten sind im Wert gleich, und zwar 5:15 = 3:9 = 0,333...

Kehrwert der Gleichung: \( \frac{15}{5} = \frac{9}{3} \)

Beide Seiten sind im Wert immer noch gleich, und zwar mit 15:5 = 9:3 = 3

Wenn zwei Zahlen a und b identisch sind, dann gilt \( a = b \), aber natürlich auch \( \frac{1}{a} = \frac{1}{b} \), weil es ja genau die selben Zahlwerte sind. (Abgesehen von a = b = 0, da kann man den Kehrwert nicht bilden, weil \( \frac{1}{0} \) nicht definiert ist.)

Deshalb ist „den Kehrwert nehmen“ eine gültige Umforumg der Gleichung, solange keine der beiden Seiten der Gleichung 0 ist, das heißt, sie verändert die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Der Wert für die Unbekannte x wird nicht verändert.

Wenn wir zum Beispiel die einfache Gleichung lösen wollen:

\( \frac{1}{x} = 2 \)

Dann nehmen wir den Kehrwert auf beiden Seiten und erhalten:

\( \frac{1}{x} = 2 \qquad | \text{ Kehrwert } \\ \frac{x}{1} = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} \)

Kehrwert bei Summe auf einer Gleichungsseite

Den Kehrwert können wir auch bilden, wenn auf einer Gleichungsseite eine Summe steht. Dann muss die gesamte Summe für den Kehrwert berücksichtigt werden. Beispiel:

$$ 2 +3 = \frac { 1 }{ x } \\ \frac { 2 + 3 }{ 1 } = \frac { 1 }{ x } \quad \text{| Kehrwert bilden} \\ \frac { 1 }{ 2 + 3 } = \frac { x }{ 1 } \\ \frac { 1 }{ 2 + 3 } = x \\ x = \frac { 1 }{ 5 } $$

Kehrwert als mehrfache Umformung der Gleichung

Dass der Kehrwert einer Gleichung funktioniert, ist keine Zauberei. Wir können ihn als eine mehrfache Umformung der Gleichung nachweisen:

\( \frac{5}{15} = \frac{3}{9} \\ \frac{5}{15} = \frac{3}{9} \qquad | ·9 \\ \frac{5}{15} ·9 = \frac{3}{9} ·9 \qquad | ·15 \\ \frac{5}{15} ·9 ·15 = \frac{3}{9} ·9 ·15 \qquad | \text{ als nächstes wegkürzen} \\ 5 · 9 = 3 · 15 \\ 9 · 5 = 15 · 3 \qquad | :3 \\ \frac{9·5}{3} = \frac{15·3}{3} \qquad | :5 \\ \frac{9·5}{3·5} = \frac{15·3}{3·5} \qquad | \text{ als nächstes wegkürzen} \\ \frac{9}{3} = \frac{15}{5} \\ \frac{15}{5} = \frac{9}{3} \)

Wir erkennen, dass \( \frac{5}{15} = \frac{3}{9} \) äquivalent (im Werte gleich) ist zu \( \frac{15}{5} = \frac{9}{3} \).

Der Kehrwert bei einer Gleichung ist nichts weiter als eine mehrfache Multiplikation bzw. Division der entsprechenden Werte.

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