Brüche sinnvoll erweitern

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Wir hatten bereits gelernt, wie man Brüche erweitern kann, Beispiel:

$$ \frac{1}{2} = \frac{1\color{blue}{·3}}{2\color{blue}{·3}} = \frac{3}{6} $$

Obwohl sich die Zahlen im Nenner und Zähler verändern, bleibt der Wert des Bruches gleich. Für das Beispiel 1:2 = 3:6 = 0,5.

Wenn es um sinnvolles Erweitern von Brüchen geht, meint man, dass mit einer Zahl so erweitert wird, dass man sich Arbeit bzw. Rechenschritte spart.

Nicht sinnvolles Erweitern

Wir wollen zwei Brüche miteinander addieren, die ungleichnamig sind (also verschiedene Nenner haben):

\( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \)

Jetzt könnten wir beide Brüche wie folgt erweitern:

\( = \frac{2 \color{#F00}{·10} }{\color{#00F}{5} \color{#F00}{·10}} + \frac{3 \color{#00F}{·5}}{\color{#F00}{10}\color{#00F}{·5} } \)

Und erhalten:

\( = \frac{20}{50} + \frac{15}{50} = \frac{35}{50} \)

Hier müssen wir noch das Ergebnis kürzen: \( \frac{ 35^{\color{#55F}{:5}} }{ 50^{\color{#55F}{:5}} } = \frac{7}{10}\)

Wir können jeden Bruch mit einer beliebig großen Zahl erweitern, dies ist aber meist nicht sinnvoll, da mehr Rechenaufwand benötigt wird.

Sinnvolles Erweitern

Wir können uns jedoch Arbeit/Rechenschritte ersparen, indem wir sinnvoll erweitern! Für unser Beispiel \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \) können wir den ersten Bruch schlicht und einfach mit 2 erweitern und ihn auf 10tel bringen. Dann sind bereits beide Brüche gleichnamig und können addiert werden:

\( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{ 2 \color{#F00}{·2} }{ 5 \color{#F00}{·2} } + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)

Auf diese Weise haben wir uns das Erweitern des zweiten Bruches gespart sowie das Kürzen des Ergebnisses.

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