Abstand Punkt-Ebene

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Der kürzeste Abstand zwischen Geraden oder Ebenen und einem Punkt ist immer eine Gerade, die senkrecht auf der Geraden oder der Ebene steht, also eine Normale. In Abbildung 49 ist eine Ebene, auf der der Punkt P liegt dargestellt. Der Punkt R, dessen Abstand von der Ebene bestimmt werden soll, liegt nicht in dieser Ebene.

Wenn nun der Punkt X senkrecht unter dem Punkt R auf der Ebene liegt, dann ist der Vektor

\( \left( {\vec r - \vec p} \right) - \left( {\vec x - \vec p} \right) = \vec n \) Gl. 352

gleich dem Normalenvektor auf die Ebene. Der gesuchte Abstand d ergibt sich als der Betrag des Normalenvektors.

\( d = \left| {\vec n} \right| \) Gl. 353

Abbildung 49 Ebene mit Punkt P und Punkt R nicht in Ebene
Abbildung 49: Ebene mit Punkt P und Punkt R nicht in Ebene

Andererseits liegt aber der Vektor \( \left( {\vec x - \vec p} \right) \) genau in der Ebene, so dass die Hessesche Ebenengleichung lautet:

\( \left( {\vec x - \vec p} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 354

Der unbekannte Vektor \(\left( {\vec x - \vec p} \right)\) kann aus Gl. 352 durch Umstellen gewonnen und in Gl. 354 eingesetzt werden:

\( \left( {\left( {\vec r - \vec p} \right) - \vec n} \right) \cdot \vec n = 0 \) Gl. 355

Ausmultiplizieren und ordnen

\( \left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot \vec n = \vec n \cdot \vec n = {\left| {\vec n} \right|^2} \) Gl. 356

Wird nun auf beiden Seiten der Betrag gebildet und durch den Betrag des Normalenvektors dividiert, dann erhalten wir mit

\( \left| {\left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } } \right| = \left| {\vec n} \right| = d \) Gl. 357

den gesuchten Abstand d. Der Ausdruck

\( \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } = {\vec e_ \bot } \) Gl. 358 ist der Normaleneinheitsvektor.

Ist die Ebenengleichung in der Koordinatenform

\( {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot y + {a_3} \cdot z = c \) Gl. 359

gegeben, lautet der Normaleneinheitsvektor

\( {\vec e_ \bot } = \frac{ {\vec n} }{ {\left| {\vec n} \right|} } = \frac{1}{ {\sqrt { {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }\\{ {a_2} }\\{ {a_3} }\end{array} } \right) \) Gl. 360

Beispiel:

Gegeben sei eine Ebene \(2x - 3y + z = 4\). Weiterhin ist ein Punkt X(3,3,3) gegeben.

Gesucht ist der kürzeste Abstand dieses Punktes von der Ebene.

Lösung:

Zur Anwendung von Gl. 357 ist die Existenz eines beliebigen Punktes auf der Ebene Voraussetzung. Mit der Annahme x=1, y=1 ergibt sich z=4-2+3=5 als dritte Koordinate des Bezugspunktes auf der Ebene.

Nunmehr lauten die Vektoren:

\( {\vec e_ \bot } = \frac{1}{ {\sqrt {4 + 9 + 1} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right) \quad \vec r = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\3\end{array} } \right) \text{ und } \vec p = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\1\\5\end{array} } \right) \)

in Gl. 357 einsetzen:

\( d = \left| {\left( {\vec r - \vec p} \right) \cdot { {\vec e}_ \bot } } \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| { { {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\3\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\1\\5\end{array} } \right)} \right)}^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right)} \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| { { {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\2\\{ - 2}\end{array} } \right)}^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 3}\\1\end{array} } \right)} \right| = \frac{1}{ {\sqrt {14} } }\left| {\left( {4 - 6 - 2} \right)} \right| = 1,06 \)

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