Matrizen zum Lösen von Gleichungssystemen

Lesedauer: 8 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

In Abschnitt Definition Determinanten wurde die Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Determinanten hergeleitet. Dazu wurde die Cramersche Regel angewendet. Wie sich gezeigt hat ist dieses Verfahren jedoch recht aufwändig zu handhaben.

Mit den Mitteln der Matrizenrechnung kann ein anderer Lösungsweg angegeben werden, der allerdings nur dank der verfügbaren Matrizenprogramme auf dem Computer vorteilhaft realisierbar ist.

Es sei

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z = {c_2}\\III. & {a_{31} }x + {a_{32} }y + {a_{33} }z = {c_3}\end{array}\) Gl. 208

das zu lösende Gleichungssystem, dann kann mit der Matrix

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right) \) Gl. 209

und den Spaltenvektoren

\(C = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} }\\{ {c_2} }\\{ {c_3} }\end{array} } \right)\) und \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\\z\end{array} } \right)\) Gl. 210

das Gleichungssystem nach Gl. 208 wie folgt geschrieben werden

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} }\\{ {c_2} }\\{ {c_3} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\\z\end{array} } \right)\) Gl. 211

oder

\(C = A \cdot X\) Gl. 212

Gesucht sind aber die Werte des Spaltenvektors X. D.h. Gl. 212 muss so umgeformt werden, dass X separiert wird. Dies wird erreicht, indem Gl. 212 auf beiden Seiten von links mit der Kehrwertmatrix von A multipliziert wird:

\({A^{ - 1} } \cdot C = {A^{ - 1} } \cdot A \cdot X\) Gl. 213

\({A^{ - 1} } \cdot C = I \cdot X = X\) Gl. 214

Diese Vorgehensweise erinnert sehr an die gewöhnliche Auflösung einer Gleichung nach einer unbekannten Variablen. Allerdings ist die Bildung einer Kehrwertmatrix ohne rechentechnische Hilfsmittel sehr aufwändig, so dass im allgemeinen Fall die Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Determinanten schneller zum Ziel führt. Hingegen hat die Rechnung mit Matrizen den Vorteil, dass sie sehr gut formalisiert ist, folglich ideal für die Lösung mittels Computerprogrammen geeignet ist.

Beispiel:

Es sei das Gleichungssystem

\(\begin{array}{l}3x + 7y + 3z = 2\\\,\,x - \,\,\,\,y + 3z = 4\\3x + 2y + \,\,\,z = 1\end{array}\)

zu lösen. Die herkömmliche Lösung mit Determinanten ergibt

\( D = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 3&7&3 \\ 1&{- 1}&3 \\ 3&2&1 \end{array} } \right|; \qquad {D_x} = \left| { \begin{array}{*{20}{c} } 2&7&3\\4&{-1}&3 \\ 1&2&1 \end{array} } \right|; \qquad {D_y} = \left| { \begin{array}{*{20}{c} } 3&2&3\\1&4&3\\3&1&1 \end{array} } \right|; \qquad {D_z} = \left| { \begin{array}{*{20}{c} } 3&7&2\\1&{-1}&4\\3&2&1 \end{array} } \right| \)

Daraus folgen nach Anwendung der Cramerschen Regel:

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = 0,12; \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = - 0,28 \quad \text{ und } \quad z = \frac{ { {D_z} } }{D} = 1,2 \)

Unter Anwendung der Matrizenrechnung wird die Lösung folgendermaßen berechnet: Die entsprechenden Matrizen ergeben sich zu

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } 3&7&3 \\ 1&{- 1}&3 \\ 3&2&1 \end{array} } \right) \quad \text{ und } \quad C = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\4\\1\end{array} } \right) \)

und die gesuchte Lösung

\( C = A · X \quad \text{ also } \quad X = {A^{-1} } · C \)

Die Kehrwertmatrix wurde in einem früheren Beispiel schon berechnet:

\( {A^{-1} } = \frac{1}{ {50} } \left( { \begin{array}{*{20}{c} } { - 7}&{ - 1}&{24} \\ 8&{-6}&{-6} \\ 5&{15}&{-10} \end{array} } \right) \)

Nun ist nur noch die Multiplikation auszuführen

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\\z\end{array} } \right) = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 7}&{ - 1}&{24}\\8&{ - 6}&{ - 6}\\5&{15}&{ - 10}\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\4\\1\end{array} } \right) = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 14 - 4 + 24}\\{16 - 24 - 6}\\{10 + 60 - 10}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,12}\\{ - 0,28}\\{1,2}\end{array} } \right)\)

q.e.d.

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