Singulärwertzerlegung

Lesedauer: 11 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Auch für unsymmetrische und nichtquadratische Matrizen kann eine kanonische Darstellung angegeben werden. Die dafür erforderliche Zerlegung wird von der Singulärwertzerlegung geleistet. Hierbei wird von folgender Behauptung ausgegangen:

Analog zur kanonischen Zerlegung symmetrischer Matrizen kann eine beliebige Matrix A der Dimension (m Zeilen x n Spalten, n < m) in das Produkt aus orthonormalen Matrizen U (m x m), S (n xn) und V (n x n) zerlegt werden:

\(A = U \cdot S \cdot {V^T}\) Gl. 283

Nach den Gesetzen der Matrizenmultiplikation ergibt das Produkt der quadratischen Matrizen tatsächlich die Dimension der Ausgangsmatrix A:

Abbildung 30 Produkt der quadratischen Matrizen ergibt Dimension der Ausgangsmatrix A
Abbildung 30: Produkt der quadratischen Matrizen ergibt Dimension der Ausgangsmatrix A

Worin U und V Matrizen von Eigenvektoren bzw. S eine Matrix von Eigenwerten der Matrixprodukte AT×A bzw. A×AT sind. Aus diesem Grund sindU und V orthonormal undS ist eine Diagonalmatrix.S wird auch die Singulärwertmatrix genannt.

Beweis:

Die Multiplikation transponierter Matrizen mit sich selbst, z.B.AT×A bzw. A×AT liefert stets quadratische und symmetrische Matrizen als Ergebnis. Folglich können beide Produkte in ihre kanonische Form gewandelt werden. Das Produkt A×AT liefert eine m x m Matrix B:

\(A \cdot {A^T} = B = U \cdot \Lambda \cdot {U^T}\) Gl. 284

und das Produkt AT×A eine n xn Matrix C:

\({A^T} \cdot A = C = V \cdot \Lambda \cdot {V^T}\) Gl. 285

Die Matrix der Eigenwerte L ist in beiden Fällen identisch!

Gemäß Gl. 283 gilt aber

\( A \cdot {A^T} = B = \left( {U \cdot S \cdot {V^T} } \right) \cdot {\left( {U \cdot S \cdot {V^T} } \right)^T} \) Gl. 286

bzw.

\({A^T} \cdot A = C = {\left( {U \cdot S \cdot {V^T} } \right)^T} \cdot \left( {U \cdot S \cdot {V^T} } \right)\) Gl. 287

Folglich sind

\( B = U \cdot S \cdot {V^T} \cdot {\left( { {V^T} } \right)^T} \cdot {S^T} \cdot U; \quad C = {\left( { {V^T} } \right)^T} \cdot {S^T} \cdot {U^T} \cdot U \cdot S \cdot {V^T} \) Gl. 288

Unter Beachtung der Regeln für die Produkte transponierter Matrizen und der Tatsache, dass U und V orthonormal sind, folgt:

a) S ist eine Diagonalmatrix, daher istST = S!

b)(VT)T = V,

c) U bzw. V sind orthonormal, daher ist UT×U = U×UT =VT×V = V×VT = I !

daher

\( B = U \cdot S \cdot {V^T} \cdot V \cdot S \cdot {U^T} = U \cdot S \cdot I \cdot S \cdot {U^T} = U \cdot {S^2} \cdot {U^T} \) Gl. 289

Analog dazu

\(C = V \cdot S \cdot I \cdot S \cdot {V^T} = V \cdot {S^2} \cdot {V^T}\) Gl. 290

Die Gleichungen Gl. 289 und Gl. 290 stellen die kanonischen Formen der Matrizen B und C dar, worin U und V die Eigenvektormatrizen von B bzw.C darstellen und S2 die MatrixL der Eigenvektoren von B oder C.

Um der Definitionsgleichung Gl. 283 gerecht zu werden, muss S aus L bestimmt werden:

\(S = \sqrt \Lambda = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\sqrt { {\lambda _1} } }&0&0&0\\0&{\sqrt { {\lambda _2} } }&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&0&{\sqrt { {\lambda _n} } }\end{array} } \right)\) Gl. 291

Beispiel:

Die gegebene Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}&{ - 1}\\2&2\\{ - 1}&1\end{array} } \right)\) soll in ihre kanonische Form gebracht werden.

Lösung:

a) Berechnung von B:

\( B = A \cdot {A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&{ - 4}&0\\{ - 4}&8&0\\0&0&2\end{array} } \right) \)

und die zugehörige Matrix der Eigenvektoren

\(U = \frac{1}{ {\sqrt 5 } } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ - 1}&2\\0&2&1\\{\sqrt 5 }&0&0\end{array} } \right)\)

b) Berechnung von C:

\(C = {A^T} \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }6&4\\4&6\end{array} } \right)\), die Berechnung der Eigenwerte führt auf \( \require{HTML} \style{display:inline-block; transform:rotate(180deg)}{ V } = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \)

und die zugehörige Matrix der Eigenvektoren

\( V = \frac{1}{ {\sqrt 2 } } \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\{ - 1}&1\end{array} } \right)\)

Damit lautet die kanonische Zerlegung:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}&{ - 1}\\2&2\\{ - 1}&1\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\sqrt 5 } } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ - 1}&2\\0&2&1\\{\sqrt 5 }&0&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\sqrt 2 }&0\\0&{\sqrt {10} }\end{array} } \right) \cdot \frac{1}{ {\sqrt 2 } }{\left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\{ - 1}&1\end{array} } \right)^T}\)

Wie das Beispiel zeigt, ist es recht mühevoll, für zwei Matrizen die Eigenvektoren zu berechnen. Insbesondere dann, wennB infolge m xm recht große Ausmaße annehmen kann!

Eine effizientere Methode kann durch Umstellen von Gl. 283 abgeleitet werden:

\( A = U \cdot S \cdot {V^T} \quad \Rightarrow \quad A \cdot {\left( {S \cdot {V^T} } \right)^{ - 1} } = U \) Gl. 292

Unter Beachtung der Regeln für Inverse Matrizen

\(U = A \cdot {\left( {S \cdot {V^T} } \right)^{ - 1} } = A \cdot {\left( { {V^T} } \right)^{ - 1} } \cdot {S^{ - 1} }\) Gl. 293

Da V orthonormal ist, gilt (VT) -1 = V

\( U = A \cdot V \cdot {S^{ - 1} } \) Gl. 294

Sind also die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren (S2 und V) der Matrix C bekannt, ist die Matrix U nach Gl. 294 berechenbar. Das Berechnen der Matrix B ist damit ebenfalls hinfällig!

Beispiel:

Am vorangegangenen Beispiel wurden für die Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}&{-1} \\ 2 & 2 \\ {-1} & 1 \end{array} } \right)\) über die Berechnung der Matrix C Eigenwerte zu \( \require{HTML} \style{display:inline-block; transform:rotate(180deg)}{ V } = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \) und Eigenvektoren zu \(V = \frac{1}{ {\sqrt 2 } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\{ - 1}&1\end{array} } \right)\) berechnet.

Für U ergibt sich dann

\(U = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}&{ - 1}\\2&2\\{ - 1}&1\end{array} } \right) \cdot \frac{1}{ {\sqrt 2 } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\{ - 1}&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\frac{1}{ {\sqrt 2 } } }&0\\0&{\frac{1}{ {\sqrt {10} } } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0&{\frac{1}{ {\sqrt 5 } } }\\0&{\frac{2}{ {\sqrt 5 } } }\\1&0\end{array} } \right)\)

Die dritte Spalte der Matrix U ist irrelevant, da diese in der Multiplikation mit S×VT (2 x 2 Matrix) nicht benötigt wird. Diese Spalte kann also bei Bedarf auch mit Nullen aufgefüllt werden.

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