Matrizenmultiplikation

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Matrizenmultiplikation dient direkt oder indirekt der Lösung linearer Gleichungssysteme. Die linearen Gleichungssysteme von Gl. 122 bzw. Gl. 123 stellen eine multiplikative Verknüpfung eines Variablenvektors X mit einer Eigenschaftenmatrix A in geeigneter Weise dar. Während bei Gl. 122 das Ziel darin besteht, den Vektor X so zu bestimmen, dass die Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt werden, wird mit Gl. 123 ein neuer Vektor bestimmt, der sich aus dem Produkt von Vektor X und der Eigenschaftenmatrix A ergibt.

Gl. 139 zeigt dies in allgemeiner Form. Ein Lösungsvektor U wird dadurch bestimmt, dass die Koeffizientenmatrix A mit dem Variablenvektor X multipliziert wird. Mit der Umsetzung eines Gleichungssystems in seine Matrixform wird gleichzeitig die einfachste Form der Matrizenmultiplikation, ja die Matrix selbst definiert:

\( \begin{array}{*{20}{c} }{u = {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z}\\{v = {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z}\end{array} \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c} }u\\v\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\\z\end{array} } \right) \Leftrightarrow U = A \cdot X \) Gl. 139

Im Beispiel Gl. 139 wurde mit Absicht ein lineares Gleichungssystem gewählt, das auf eine nichtquadratische Form führt.

Bei der Übersetzung eines LGS in seine Matrixform erfolgt eine Trennung des LGS in Koeffizienten und Variablen. Die Koeffizientenmatrix und der Variablenvektor sind multiplikativ verknüpft. Im Ergebnis dieser Multiplikation entsteht ein Lösungsvektor.

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