Symmetrische Matrix
Eine Reihe physikalischer Aufgabenstellungen führt auf symmetrische Matrizen (z.B. Korrelations- oder Kovarianzmatrizen). Für symmetrische Matrizen gibt es weitere wichtige Eigenschaften:
a) Alle Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind reell.
Der Beweis soll am Beispiel einer symmetrischen Matrix zweiten Ranges geführt werden. Ausgehend von Gl. 250 lautet das charakteristische Polynom:
\(\left( { {a_{11} } - \lambda } \right)\left( { {a_{22} } - \lambda } \right) - {a_{12} } \cdot {a_{21} } = 0\)
Auflösen
\( {\lambda ^2} - \left( { {a_{11} } + {a_{22} } } \right)\lambda + {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } = 0 \)
Der Wurzelsatz von Vieta ergibt
\( {\lambda _{1,2} } = \frac{ { {a_{11} } + {a_{22} } } }{2} \pm \sqrt { { {\left( {\frac{ { {a_{11} } + {a_{22} } } }{2} } \right)}^2} - \left( { {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right)} \)
Vereinfachen (2. binomische Formel)
\({\lambda _{1,2} } = \frac{ { {a_{11} } + {a_{22} } } }{2} \pm \sqrt { { {\left( { {a_{11} } - {a_{22} } } \right)}^2} + 4 \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \)
Der Wurzelausdruck ist immer > 0, wenn a12 und a21 wenigstens gleiche Vorzeichen haben, bei symmetrischen Matrizen ist diese Bedingung immer erfüllt!
b) Alle Eigenvektoren sind reell.
c) Eigenvektoren sind zueinander orthogonal
\( {X_i}^T · {X_j} = 0 \text{ bzw. } {V_i}^T \cdot {V_j} = 0 \) Gl. 269
Beispiel:
Die im vorangegangenen Beispiel gefundenen Eigenvektoren
\( {X_1} = \left( {\begin{array}{cc}1\\{2,41421}\end{array} } \right); \quad {X_2} = \left( {\begin{array}{cc} 1 \\ {-0,41421}\end{array} } \right) \)
bzw. ihre normierten
\({\overline X _1} = \left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,3827} } }\\{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\end{array} } \right); \quad {\overline X _2} = \left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\\{ {\rm{ - 0} }{\rm{,3827} } }\end{array} } \right) \)
werden miteinander multipliziert
\({\left( {\begin{array}{cc}1\\{2,41421}\end{array} } \right)^T} \cdot \left( {\begin{array}{cc}1\\{ - 0,41421}\end{array} } \right) = 1 - 0,41421 \cdot 2,41421 = 1 - 1 = 0\)
bzw.
\({\left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,3827} } }\\{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\end{array} } \right)^T} \cdot \left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\\{ {\rm{ - 0} }{\rm{,3827} } }\end{array} } \right) = {\rm{0} }{\rm{,3536 - 0} }{\rm{,3536} } = {\rm{0} }\)
d) Weil die Eigenvektoren orthogonal sind, ist auch die Matrix der Eigenvektoren eine orthogonale Matrix (siehe auch Orthogonale Matrizen).
\({V^T} \cdot V = I\) Gl. 270
Das Produkt führt auf die Einheitsmatrix I ohne Proportionalitätsfaktor, weil die Eigenvektormatrix aus normierten Vektoren gebildet wird.
Aus Gl. 270 folgt auch
\({V^T} = {V^{ - 1} }\) Gl. 271