Zusammenhang von Skalar- und Vektorprodukt

Lesedauer: 2 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Beide Produkte stehen in einem betragsbasierten Zusammenhang:

\(\left| {\vec a \cdot \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) Gl. 326 Skalarprodukt

\(\left| {\vec a \times \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \sin \left( {\angle \vec a,\vec b} \right) \) Gl. 327 Vektorprodukt

Aus den Beziehungen für die trigonometrischen Funktionen sin und cos ergibt sich:

\({\left| {\vec a \cdot \vec b} \right|^2} + {\left| {\vec a \times \vec b} \right|^2} = {\left( {\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|} \right)^2} \) Gl. 328

Daraus folgt, dass die Beträge der Produkte stets kleiner oder gleich den Produkten der Einzelbeträge sind:

\( \left| {\vec a \cdot \vec b} \right|\,\,bzw.\,\,\left| {\vec a \times \vec b} \right| \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \) Gl. 329

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