Rechenregeln für Matrizenmultiplikation

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

a) Das Kommutativgesetz gilt im allgemeinen nicht. Nur Spezialfälle bilden eine Ausnahme.

\( A \cdot B \ne B \cdot A \) Gl. 153

Aus diesem Grund erfolgt entsprechend der Definition (Gl. 140) die Multiplikation immer von links.

Beispiel:

Gegeben seien die Matrizen A und B

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{-2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right); \qquad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3\\{-1}&2\\3&{ - 2}\end{array} } \right) \)

gesucht sind die Produkte A×B bzw. B×A. Das Produkt A×B ist aus dem vorangegangenen Beispiel schon bekannt:

\( A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\left( { - 5} \right)}\\9\\0\end{array}\begin{array}{*{20}{c} }{16}\\{14}\\{\left( {-2} \right)}\end{array} } \right) \)

hingegen ist

\( B \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&0\\{ - 1}&2&0\\3&{ - 2}&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{4 + 12}&{6 + 6}&{ - 4 + 3}\\{ - 2 + 8}&{ - 3 + 4}&{2 + 2}\\{6 - 8}&{9 - 4}&{ - 6 - 2}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{16}&{12}&{ - 1}\\6&1&4\\{ - 2}&5&{ - 8}\end{array} } \right) \)

ein völlig anderes Ergebnis!

b) Das Assoziativgesetz gilt!

\(\left[ {A \cdot B} \right] \cdot C = A \cdot \left[ {B \cdot C} \right]\) Gl. 154

c) Das Distributivgesetz gilt!

\(\left[ {A + B} \right] \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\) Gl. 155

d) Der Wert eines Matrixproduktes ist gleich dem Produkt der Werte der einzelnen Matrizen.

\(\left| {A \cdot B} \right| = \left| A \right| \cdot \left| B \right|\) Gl. 156

e) Potenzen von Matrizen

\(A \cdot A \cdot A.... \cdot A = {A^p}\) Gl. 157

f) Die Rechenregeln für Potenzen gelten!

\({A^p} \cdot {A^q} = {A^{p + q} }\) Gl. 158

  Hinweis senden