Rechenregeln für Matrizenmultiplikation
a) Das Kommutativgesetz gilt im allgemeinen nicht. Nur Spezialfälle bilden eine Ausnahme.
\( A \cdot B \ne B \cdot A \) Gl. 153
Aus diesem Grund erfolgt entsprechend der Definition (Gl. 140) die Multiplikation immer von links.
Beispiel:
Gegeben seien die Matrizen A und B
\( A = \left( {\begin{array}{cc}2&3&{-2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right); \qquad B = \left( {\begin{array}{cc}2&3\\{-1}&2\\3&{ - 2}\end{array} } \right) \)
gesucht sind die Produkte A×B bzw. B×A. Das Produkt A×B ist aus dem vorangegangenen Beispiel schon bekannt:
\( A \cdot B = \left( {\begin{array}{cc}{\left( { - 5} \right)}\\9\\0\end{array}\begin{array}{cc}{16}\\{14}\\{\left( {-2} \right)}\end{array} } \right) \)
hingegen ist
\( B \cdot A = \left( {\begin{array}{cc}2&3&0\\{ - 1}&2&0\\3&{ - 2}&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{4 + 12}&{6 + 6}&{ - 4 + 3}\\{ - 2 + 8}&{ - 3 + 4}&{2 + 2}\\{6 - 8}&{9 - 4}&{ - 6 - 2}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{16}&{12}&{ - 1}\\6&1&4\\{ - 2}&5&{ - 8}\end{array} } \right) \)
ein völlig anderes Ergebnis!
b) Das Assoziativgesetz gilt!
\(\left[ {A \cdot B} \right] \cdot C = A \cdot \left[ {B \cdot C} \right]\) Gl. 154
c) Das Distributivgesetz gilt!
\(\left[ {A + B} \right] \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\) Gl. 155
d) Der Wert eines Matrixproduktes ist gleich dem Produkt der Werte der einzelnen Matrizen.
\(\left| {A \cdot B} \right| = \left| A \right| \cdot \left| B \right|\) Gl. 156
e) Potenzen von Matrizen
\(A \cdot A \cdot A.... \cdot A = {A^p}\) Gl. 157
f) Die Rechenregeln für Potenzen gelten!
\({A^p} \cdot {A^q} = {A^{p + q} }\) Gl. 158