Eigenschaften des Vektorproduktes

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

a) Das Vektorprodukt zwei gleicher Vektoren ist gleich Null.

b) Sind zwei Vektoren parallel zueinander, so beträgt der von ihnen eingeschlossene Winkel 0°. Folglich verschwindet das Vektorprodukt zueinander paralleler Vektoren.

\( \vec a \times \vec b = 0 \quad \text{ sofern } \left. a \right\|b \) Gl. 322

Wenn ausgeschlossen werden kann, dass \(\vec a,\,\vec b \ne 0\) sind, kann dieses Verhalten zur Prüfung der Parallelität (linearen Abhängigkeit) zweier Vektoren verwendet werden.

c) Aus b) folgt

\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec a = 0 \text{ sowie } \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec b = 0 \) Gl. 323

d) Mehrfache Vektorprodukte können wie folgt aufgelöst werden:

\( \vec a \times \left( {\vec b \times \vec c} \right) = \left( {\vec a \cdot \vec c} \right) \cdot \vec b - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 324

\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c = \left( {\vec b \cdot \vec c} \right) \cdot \vec a - \left( {\vec a \cdot \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 325

Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\3\\{ - 1}\end{array} } \right)\)und \(\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 4}\\{ - 6}\\2\end{array} } \right)\). Es ist zu prüfen, ob die Vektoren parallel zueinander verlaufen.

Die Vektormultiplikation ergibt

\(\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }i&j&k\\2&3&{ - 1}\\{ - 4}&{ - 6}&2\end{array} } \right| = \left( {6 - 6} \right) \cdot i + \left( {4 - 4} \right) \cdot j + \left( { - 12 + 12} \right) \cdot k = 0\)

also sind beide Vektoren parallel zueinander.

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