Multiplikation Matrix mit Spaltenvektor

Lesedauer: 8 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Eine Matrix kann mit einem Spaltenvektor multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix K mit der Anzahl der Zeilen des Spaltenvektors K übereinstimmen. Ist dies nicht der Fall, müssen die fehlenden Spalten oder Zeilen mit Nullen aufgefüllt werden.

Der Spaltenvektor steht rechts der Matrix!

\( A \cdot X = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }\\{ {x_2} }\\{ {x_3} }\\{...}\\{ {x_K} }\end{array} } \right) \) Gl. 140

Die Multiplikation wird ausgeführt, indem zeilenweise das k-te Element der Matrix mit dem k-ten Element des Spaltenvektors multipliziert wird. Alle so entstehenden Teilprodukte der i-ten Zeile werden aufsummiert.

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }\\{ {x_2} }\\{ {x_3} }\\{...}\\{ {x_K} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} }{x_1} }&{ + {a_{12} }{x_2} }&{ + {a_{13} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{1K} }{x_K} }\\{ {a_{21} }{x_1} }&{ + {a_{22} }{x_2} }&{ + {a_{23} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{2K} }{x_K} }\\{...}&{...}&{...}&{ + {a_{ik} }{x_k} }&{...}\\{ {a_{I1} }{x_1} }&{ + {a_{I2} }{x_2} }&{ + {a_{I3} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{IK} }{x_K} }\end{array} } \right) \) Gl. 141

Das Ergebnis ist wieder ein Spaltenvektor, jetzt allerdings mit I Zeilen:

\(\begin{array}{l}Y = A \cdot X\\\\\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1} }\\{ {y_2} }\\{...}\\{ {y_I} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} }{x_1} }&{ + {a_{12} }{x_2} }&{ + {a_{13} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{1K} }{x_K} }\\{ {a_{21} }{x_1} }&{ + {a_{22} }{x_2} }&{ + {a_{23} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{2K} }{x_K} }\\{...}&{...}&{...}&{ + {a_{ik} }{x_k} }&{...}\\{ {a_{I1} }{x_1} }&{ + {a_{I2} }{x_2} }&{ + {a_{I3} }{x_3} }&{...}&{ + {a_{IK} }{x_K} }\end{array} } \right)\end{array}\) Gl. 142

Die Bestimmung der Elemente des neuen Spaltenvektors erfolgt nach

\( {y_i} = \sum\limits_{k = 1}^K { {a_{ik} } } \cdot {x_k} \qquad \forall i, 1 ≤ i ≤ I \) Gl. 143

Auf diese Weise wird ein lineares Gleichungssystem bestehend aus I Zeilen und K Spalten, durch die Multiplikation einer Koeffizientenmatrix mit einem Spaltenvektor, bestehend aus den unabhängigen Variablen, abgebildet.

Damit sind auch die Ausgangsbeziehungen Gl. 122 und Gl. 123 dieses Kapitels in Matrizenschreibweise darstellbar:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} }\\{ {c_2} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 144

bzw.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{x'}\\{y'}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }\\{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 145

Jetzt wird auch ersichtlich, dass auf beide Aufgaben prinzipiell die gleichen Werkzeuge angewendet werden können.

Beispiel 1:

Gesucht ist das Produkt der Matrix A mit dem Spaltenvektor B

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{-2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) \quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{-1}\\3\end{array} } \right) \)

\( A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 1}\\3\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3}\\{4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3}\\{ - 2 \cdot 2 - 5 \cdot 1 + 3 \cdot 3}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 5}\\9\\0\end{array} } \right) \)

Beispiel 2:

Gesucht ist das Produkt der Matrix A mit dem Spaltenvektor B

\( A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&7&1\\4&{17}&3\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) \quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 1}\\3\end{array} } \right) \)

\( A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&7&1\\4&{17}&3\\{-2}&5&3\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\{ - 1}\\3\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }0\\0\\0\end{array} } \right) = \left( 0 \right) \)

Fazit: Die Multiplikation von Matrizen mit einem Wert ¹ 0 kann zu einem Produkt = 0 führen!

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