Eigenschaften des Skalarproduktes

Lesedauer: 2 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

a) Das Skalarprodukt zwei gleicher Vektoren ergibt das Betragsquadrat dieses Vektors.

b) Stehen zwei Vektoren senkrecht zueinander, so beträgt der von ihnen eingeschlossene Winkel 90°. Folglich verschwindet das Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren.

\( \vec a \cdot \vec b = 0 \quad \text{ sofern } a \bot b \) Gl. 313

Wenn ausgeschlossen werden kann, dass \(\vec a,\,\vec b \ne 0\) sind, kann dieses Verhalten zur Prüfung der Orthogonalität zweier Vektoren verwendet werden.

Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2\\3\\{ - 4}\end{array} } \right)\)und \(\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\0\\2\end{array} } \right)\). Es ist zu prüfen, ob die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Die Skalarmultiplikation ergibt

\({A^T} \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }2&3&{ - 4}\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }4\\0\\2\end{array} } \right) = 8 + 0 - 8 = 0\)

also sind beide Vektoren senkrecht zueinander.

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