Kanonische Form symmetrischer Matrizen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Eine symmetrische Matrix \( A \) kann durch ihre Eigenwertmatrix und ihre Eigenvektormatrix ausgedrückt werden (kanonische Darstellung):

\(A = V \cdot \Lambda \cdot {V^T}\) Gl. 272

Beispiel:

Die gegebene Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&2\\2&5\end{array} } \right)\) hat die Eigenwerte \({\lambda _{1,2} } = 3 \pm \sqrt {9 - 1} = 3 \pm {\rm{2} }{\rm{,8284} }\)

bzw. die zugehörigen normierten Eigenvektoren

\({\overline X _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {\rm{0} }{\rm{,3827} } }\\{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\end{array} } \right); \quad {\overline X _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\\{ {\rm{ -0} }{\rm{,3827} } }\end{array} } \right)\).

Damit kann die kanonische Darstellung angegeben werden:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} } 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{0,3827} & {0,9239} \\ {0,9239} & {-0,3827} \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {\rm{5} }{\rm{,8284} } } & 0 \\ 0 &{ {\rm{0} }{\rm{,1716} } }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} } {0,3827} & {0,9239} \\ {0,9239} & {-0,3827} \end{array} } \right) \)

Wegen Eigenschaft Symmetrische Matrix d) kann durch geeignete Multiplikation eine Separierung der Eigenwertematrix aus Gl. 272 erreicht werden:

\(A = V \cdot \Lambda \cdot {V^T}\) Gl. 273

Multiplikation mit V von rechts und VT von links

\({V^T} \cdot A \cdot V = \left( { {V^T} \cdot V} \right) \cdot \Lambda \cdot \left( { {V^T} \cdot V} \right) = I \cdot \Lambda \cdot I\) Gl. 274

Sind die Eigenvektoren bekannt, kann auf diese Weise die zugehörige Eigenwertmatrix bestimmt werden:

\({V^T} \cdot A \cdot V = \Lambda \) Gl. 275

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