Eigenvektoren (Vielfache)
Ist \( X \) ein Eigenvektor der Matrix \( A \), dann sind auch beliebige Vielfache von \( X \) Eigenvektoren von \( A \). Das Verhältnis der Komponenten der Eigenvektoren untereinander bleibt von einer Multiplikation mit einer Konstanten unberührt.
Beweis:
Es sei ein Eigenvektor X zum Eigenwert l einer Matrix A gegeben. Dann gilt für jeden reellen Faktor \(k \ne 0\):
\(A \cdot kX = kA \cdot X\) Gl. 256
Nach der Bestimmungsgleichung für Eigenwerte Gl. 247 kann die rechte Seite ersetzt werden
\(kA \cdot X = k\lambda X\) Gl. 257
Einsetzen in Gl. 256
\(A \cdot kX = k\lambda X = \lambda (kX)\) Gl. 258
Das Vertauschen der Faktoren auf der rechten Seite ändert den Wert nicht! Damit liegt wieder die Bestimmungsgleichung des Eigenwertes Gl. 247, allerdings für den Eigenvektor kX vor. Also istkX ebenso Eigenvektor von A wie X selbst.
Von dieser Eigenschaft wird Gebrauch gemacht, um Eigenvektoren auf ihren Betrag zu normieren. Der normierte Eigenvektor \(\overline X \) wird entsprechend Gl. 259
\(\overline X = \frac{X}{ {\left| X \right|} } = \frac{X}{ {\sqrt {\sum {x_i^2} } } }\) Gl. 259
Beispiel:
Die im vorangegangenen Beispiel gefundenen Eigenvektoren
\( {X_1} = \left( { \begin{array}{cc} 1 \\ {2,41421} \end{array} } \right); \quad {X_2} = \left( { \begin{array}{cc} 1 \\ {-0,41421} \end{array} } \right) \)
werden normiert zu
\( {\overline X _1} = \frac{1}{ {\sqrt {1 + {\rm{5} }{\rm{,828} } } } } \left( {\begin{array}{cc}1\\{2,41421}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,3827} } }\\{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\end{array} } \right); \\ {\overline X _2} = \frac{1}{ {\sqrt {1 + {\rm{0} }{\rm{,171} } } } }\left( {\begin{array}{cc}1\\{ - 0,41421}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{ {\rm{0} }{\rm{,9239} } }\\{ {\rm{ - 0} }{\rm{,3827} } }\end{array} } \right) \)
Die Beträge der Vektoren sind gleich
\({\left| { { {\overline X }_1} } \right|^2} = {\left| { { {\overline X }_2} } \right|^2} = {\rm{0} }{\rm{,923} }{ {\rm{9} }^{\rm{2} } } + {( \pm {\rm{0} }{\rm{,3827)} }^{\rm{2} } } = 1\)