Geometrische Deutung von Eigenvektor und Eigenwert

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Gl. 276 ist die implizite Darstellung eines Kegelschnittes. Unter Wahrung bestimmter Verhältnisse kann hiermit eine Ellipse, deren Achsen beliebig in der Fläche orientiert sind, dargestellt werden.

\(a \cdot {x^2} + b \cdot {y^2} + 2 \cdot c \cdot x \cdot y = R\) Gl. 276

Nach den Gesetzen der Matrix-Multiplikation kann Gl. 276 auch so geschrieben werden:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }x&y\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }a&c\\c&b\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right) = R\) Gl. 277

oder

\({X^T} \cdot A \cdot X = R\) Gl. 278

Der Kern der Gleichung, die Matrix A, ist quadratisch und zudem symmetrisch, so dass die Matrix A in ihre kanonische Form gebracht werden kann:

\(A = U \cdot \Lambda \cdot {U^T}\) Gl. 279

worin U die Matrix der normierten Eigenvektoren und Λ die Matrix der Eigenwerte darstellen. Einsetzen in Gl. 278 ergibt

\({X^T} \cdot U \cdot \Lambda \cdot {U^T} \cdot X = R\) Gl. 280

nach geeigneter Zusammenfassung und Beachtung der Regeln der Matrizentransponierung

\({\left( { {U^T} \cdot X} \right)^T} \cdot \Lambda \cdot \left( { {U^T} \cdot X} \right) = R\) Gl. 281

fällt auf, dass dieses Produkt wieder eine Ellipsengleichung darstellt (vergleiche mit Gl. 280). Allerdings weist jetzt die Kernmatrix Λ nur noch Elemente auf der Hauptdiagonalen aus, die für die Schiefstellung der Ellipse verantwortlichen Koeffizienten verschwinden. Es liegt also bezüglich der neuen Koordinaten \(\left( { {U^T} \cdot X} \right)\) eine Standardellipse vor. Folglich hat die Matrix \( U^T \) die Funktion einer Rotationsmatrix, die den ursprünglichen Vektor \( X \) so dreht, dass der neue Vektor

\(X' = \left( { {U^T} \cdot X} \right)\) Gl. 282

genau mit den Achsen der Ellipse übereinstimmt. Dabei zeigt der Eigenvektor zum größeren der beiden Eigenwerte in Richtung der Hauptachse, der kleinere hingegen in Richtung der Nebenachse der Ellipse.

Beispiel

Mit a=b=3, c=2 und R=9 ergibt sich die in Abbildung 29 gezeigte Ellipse.

Abbildung 29 Ellipse, Eigenvektor, Eigenwerte
Abbildung 29: Ellipse, Eigenvektor, Eigenwerte

Aus \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3&2\\2&3\end{array} } \right)\) folgen \(\Lambda = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }5&0\\0&1\end{array} } \right)\) und \(U = \frac{1}{ {\sqrt 2 } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\1&{ - 1}\end{array} } \right)\).

Es ist zu sehen, dass die Matrix U aus zwei orthogonalen Vektoren besteht, die das neue (gedrehte) Koordinatensystem darstellen. Die Eigenwertmatrix L hingegen liefert die Größen a und b (c = 0!) der Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse im gedrehten Koordinatensystem, so dass Gl. 276 in

\(5 \cdot {x^2} + 1 \cdot {y^2} = 9\) übergeht.

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