Normale einer Geraden

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Eine „Normale“ ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden oder einer Fläche (Ebene) steht.

Gemäß Kapitel Geraden ist eine Gerade durch

\(a \cdot x + b \cdot y = c \) Gl. 334

darstellbar. Ihre Steigung m ist gegeben durch:

\(m = - \frac{a}{b} \) Gl. 335

Die Normale, die senkrecht zu dieser Geraden steht, hat eine Steigung von

\({m_ \bot } = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2} } \right) = - \frac{1}{m} = \frac{b}{a} \) Gl. 336

Abbildung 45 Parallel verschobene Gerade mit Steigung
Abbildung 45: Parallel verschobene Gerade mit Steigung

Auch eine in den Nullpunkt parallel verschobene Gerade hat die Steigung m und damit die gleiche Normale wie die Ursprungsgerade (Abbildung 45). Für die parallel verschobene Gerade gilt die homogene Gleichung:

\(a \cdot x + b \cdot y = 0 \) Gl. 337

Gl. 337 kann auch als das Skalarprodukt von zwei Vektoren betrachtet werden, die senkrecht aufeinander stehen.

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }a&b\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right) = 0 \) Gl. 338

Da, weil das Skalarprodukt verschwindet, der Vektor (a b)T senkrecht auf dem Vektor (x y)T steht, ist der Normalenvektor durch die Koeffizienten der Geradengleichung gegeben:

\(\vec n = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }a\\b\end{array} } \right) \) Gl. 339

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