Verkettung von Matrizenmultiplikationen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Wie das einführende Beispiel (Gl. 123) gezeigt hat, bilden Matrizen auch Transformationsvorschriften, z.B. für die Rotation eines Punktes um einen bestimmten Winkel. In Matrizenschreibweise

\(X' = {R_0} \cdot X\) Gl. 148

wenn R0 die Rotationsmatrix

\( {R_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }\\{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\end{array} } \right) \) Gl. 149

und

\( X' = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{x'}\\{y'}\end{array} } \right); \quad X = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }x\\y\end{array} } \right) \) Gl. 150

die Spaltenvektoren des rotierten Punktes bzw. des Ausgangspunktes sind. Bisweilen kommt es vor, dass nacheinander mehrere Transformationen auszuführen sind. Beispielsweise sei der bereits rotierte Punkt X’ ein weiteres mal zu rotieren, dann gilt

\(X'' = {R_1} \cdot X'\) Gl. 151

Wird nun das Ergebnis von Gl. 148 in Gl. 156 eingesetzt, wird der stufenweisen Rotation des Ausgangspunktes Rechnung getragen:

\( X'' = {R_1} \cdot {R_0} \cdot X \) Gl. 152

Wie leicht zu erkennen ist, schlägt sich die Reihenfolge der einzelnen Transformationen so in der Verkettung der einzelnen Matrizen wieder, dass die später kommenden Transformationen immer links an die schon ausgeführte Transformation angefügt werden. Man spricht von der Multiplikation von links.

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