Geometrische Transformationen mit Matrizen

Lesezeit: 1 min Dr. Volkmar Naumburger Lizenz BY-NC-SA

In einem n-dimensionalen Raum werden Punkte als n-dimensionale Spaltenvektoren dargestellt. Geometrische Transformationen befassen sich nun damit, diese Vektoren (oder Mengen solcher) zu manipulieren. Geometrische Transformationen können auf vier Grundoperationen zurückgeführt werden (Abbildung 20).

Abbildung 20 Geometrische Transformationen Grundoperationen
Abbildung 20: Geometrische Transformationen Grundoperationen

Im Folgenden soll untersucht werden, welche Matrizenoperationen diese Transformationen abbilden können.

Transformationen in 2D mit Matrizen
Homogene Koordinaten
3D-Transformationen

Kapitelübersicht:

  1. Was sind Matrizen
  2. Wert einer Matrix
  3. Spur einer Matrix
  4. Rang einer Matrix
  5. Einspaltenmatrix (Vektor)
  6. Nullmatrix
  7. Einheitsmatrix
  8. Rechenregeln für Matrizen
  9. Gleichheit von Matrizen
  10. Multiplikation Matrix mit Skalar
  11. Addition und Subtraktion von Matrizen
  12. Diagonalmatrix
  13. Transponierung einer Matrix
  14. Symmetrie und Antisymmetrie von Matrizen
  15. Matrizenmultiplikation
  16. Multiplikation Matrix mit Spaltenvektor
  17. Multiplikation beliebiger Matrizen
  18. Verkettung von Matrizenmultiplikationen
  19. Rechenregeln für Matrizenmultiplikation
  20. Sonderfälle der Matrizenmultiplikation
  21. Zeilenvektor mal Spaltenvektor
  22. Spaltenvektor mal Zeilenvektor
  23. Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix
  24. Transponiertes Matrizenprodukt
  25. Matrizen mit besonderen Eigenschaften
  26. Orthogonale Matrizen
  27. Dreiecksmatrizen
  28. Vertauschungsmatrix
  29. Inverse Matrix
  30. Berechnung der inversen Matrix
  31. Inverse Matrix mit Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen
  32. Rechenregeln für inverse Matrizen
  33. Anwendungen der Matrizenrechnung
  34. Matrizen zum Lösen von Gleichungssystemen
  35. Geometrische Transformationen mit Matrizen
  36. Transformationen in 2D mit Matrizen
  37. Homogene Koordinaten
  38. Inverse Transformationen
  39. 3D-Transformationen
  40. Betrachtung von 3D-Objekten
  41. Eigenvektoren und Eigenwerte
  42. Eigenvektoren (Vielfache)
  43. Eigenschaften von Eigenvektoren und Eigenwerten
  44. Matrizen von Eigenvektoren und Eigenwerten
  45. Symmetrische Matrix
  46. Kanonische Form symmetrischer Matrizen
  47. Geometrische Deutung von Eigenvektor und Eigenwert
  48. Singulärwertzerlegung
  49. Vektoren - Einführung und Definition
  50. Darstellung von Vektoren
  51. Rechnen mit Vektoren
  52. Addition und Subtraktion von Vektoren
  53. Produkte von Vektoren
  54. Skalarprodukt
  55. Rechenregeln für Skalarprodukte
  56. Eigenschaften des Skalarproduktes
  57. Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
  58. Rechenregeln für Vektorprodukte
  59. Eigenschaften des Vektorproduktes
  60. Zusammenhang von Skalar- und Vektorprodukt
  61. Spatprodukt
  62. Anwendungen von Vektoren
  63. Parameterdarstellung der Punkt-Richtungs-Gleichung
  64. Normale einer Geraden
  65. Normale einer Ebene
  66. Ebenengleichungen
  67. Abstand Punkt-Gerade
  68. Abstand Punkt-Ebene