Rang einer Matrix

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang der ranggrößten nichtverschwindenden Determinante der Matrix.

Determinanten, die einen von Null verschiedenen Wert haben, sind zumindest von quadratischer Gestalt, so dass eine nichtquadratische Matrix durch Streichen von Zeilen oder Spalten zu einer quadratischen Matrix umgeformt werden muss, ehe ihr Rang bestimmt werden kann. Ist nun die Determinante der so verkürzten Matrix ungleich Null, so hat die Matrix den gleichen Rang wie die dazu gehörende Determinante. Verschwinden hingegen alle so ermittelten möglichen Unterdeterminanten, so ist durch weiteres Streichen von Zeilen bzw. Spalten nach einer nicht verschwindenden Determinante zu suchen. Dieses Verfahren wird solange wiederholt, bis wenigstens eine Determinante ungleich Null gefunden wurde. Deren Rang entspricht dann dem Rang der gegebenen Matrix.

Beispiel:

Welchen Rang hat folgende Matrix?

\(A = \left( { {a_{ik} } } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&3&{ - 3}\\2&6&1\end{array} } \right)\)

Die Matrix kann durch Streichen einer Spalte in die quadratische Form gebracht werden (das Hinzufügen einer Nullen-Zeile hätte keine Wirkung, da der Wert dieser Matrix allein dadurch zu Null würde).

1. Versuch:

Streichen der letzten Spalte

\( \left| { {A`} } \right| = \left| { { {\left( { {a_{ik} } } \right)}`} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&3 \\ 2&6 \end{array} } \right| = 0 \)   ⇒ der Rang dieser Matrix < 2.

Weiteres Streichen von Spalten und Zeilen führt in jedem Fall auf Werte ungleich Null. D.h. der Rang r ist mindestens gleich 1.

2. Versuch:

Streichen der mittleren Spalte

\( \left| { {A`} } \right| = \left| { { {\left( { {a_{ik} } } \right)}`} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&{-3} \\ 2&1 \end{array} } \right| = 7 \)   ⇒ der Rang dieser Matrix = 2.

D.h. der Rang der Matrix A ist also r = 2.

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