Dreiecksmatrizen

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Jede quadratische Matrix A kann durch das Produkt zweier Dreiecksmatrizen L undR ausgedrückt werden. Dieser Vorgang wird auch Faktorisierung genannt. Wobei L nur im linken unteren Dreieck und R nur im oberen rechten Dreieck besetzt ist:

\( L = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0&0\\{ {l_{21} } }&1&0&0\\{ {l_{i1} } }&{...}&1&0\\{ {l_{I1} } }&{ {l_{I2} } }&{...}&1\end{array} } \right); \qquad R = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {r_{11} } }&{ {r_{12} } }&{...}&{ {r_{1K} } }\\0&{ {r_{22} } }&{...}&{ {r_{2K} } }\\0&0&{ {r_{ii} } }&{...}\\0&0&0&{ {r_{II} } }\end{array} } \right) \) Gl. 170

Es gilt also

\( A = L \cdot R = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0&0\\{ {l_{21} } }&1&0&0\\{ {l_{i1} } }&{...}&1&0\\{ {l_{I1} } }&{ {l_{I2} } }&{...}&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {r_{11} } }&{ {r_{12} } }&{...}&{ {r_{1K} } }\\0&{ {r_{22} } }&{...}&{ {r_{2K} } }\\0&0&{ {r_{ii} } }&{...}\\0&0&0&{ {r_{II} } }\end{array} } \right) \) Gl. 171

Um die Zerlegung der Matrix A rechnerisch vornehmen zu können, ist eine Bildungsregel für die Elemente der linken bzw. der rechten Dreiecksmatrix erforderlich. Diese soll am Beispiel einer Matrix vom Rang R=3 abgeleitet werden. Dazu wird zunächst die Multiplikation in Gl. 171 ausgeführt.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\{ {l_{21} } }&1&0\\{ {l_{31} } }&{ {l_{32} } }&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {r_{11} } }&{ {r_{12} } }&{ {r_{13} } }\\0&{ {r_{22} } }&{ {r_{23} } }\\0&0&{ {r_{33} } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {r_{11} } }&{ {r_{12} } }&{ {r_{13} } }\\{ {l_{21} }{r_{11} } }&{ {l_{21} }{r_{12} } + {r_{22} } }&{ {l_{21} }{r_{13} } + {r_{23} } }\\{ {l_{31} }{r_{11} } }&{ {l_{31} }{r_{12} } + {l_{32} }{r_{22} } }&{ {l_{31} }{r_{13} } + {l_{32} }{r_{23} } + {r_{33} } }\end{array} } \right) \) Gl. 172

Durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Matrix A mit denen des Produktes auf der rechten Seite von Gl. 172 wird eine Rekursionsvorschrift für die lik und rik erhalten:

1. Schritt

\( {r_{11} } = {a_{11} }; \quad {r_{12} } = {a_{12} }; \quad {r_{13} } = {a_{13} } \)

2. Schritt

\( {l_{21} } = \frac{ { {a_{21} } } }{ { {r_{11} } } }; \quad {r_{22} } = {a_{22} } - {l_{21} }{r_{12} }; \quad {r_{23} } = {a_{23} } - {l_{21} }{r_{13} } \)

3. Schritt

\( {l_{31} } = \frac{ { {a_{31} } } }{ { {r_{11} } } }; \quad {l_{32} } = \frac{ { {a_{32} } - {l_{31} }{r_{12} } } }{ { {r_{22} } } }; \quad {r_{33} } = {a_{33} } - {l_{31} }{r_{13} } - {l_{32} }{r_{23} } \)

Die Ausführung der Rekursion setzt allerdings voraus, dass Divisionen durch Null nicht auftreten.

Eigenschaften:

Ist R zu einer Matrix A gegeben, dann ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich dem Wert der Matrix A.

Beweis:

\( \det (A) = \det (L \cdot R) = \det \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0&0\\{ {l_{21} } }&1&0&0\\{ {l_{i1} } }&{...}&1&0\\{ {l_{I1} } }&{ {l_{I2} } }&{...}&1\end{array} } \right) \cdot \det \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {r_{11} } }&{ {r_{12} } }&{...}&{ {r_{1K} } }\\0&{ {r_{22} } }&{...}&{ {r_{2K} } }\\0&0&{ {r_{ii} } }&{...}\\0&0&0&{ {r_{II} } }\end{array} } \right) = 1 \cdot \det (R) = \prod\limits_{i = 1}^I { {r_{ii} } } \) Gl. 173

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