Inverse Matrix mit Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen

Lesedauer: 7 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Zur Berechnung inverser Matrizen wird der Gauß-Jordan-Algorithmus erweitert:

\( \left| { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } } \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } } \end{array} } \right|\left. { \begin{array}{*{20}{c} } 1&0&{...}&0 \\ 0&1&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&1 \end{array} } \right| \) Gl. 200

Auf der linken Seite des Schemas befinden sich alle Koeffizenten der zu invertierenden Matrix, auf der rechten Seite die Koeffizienten einer in der Größe passenden Einheitsmatrix.

Nun wird durch geeignetes Multiplizieren von Zeilen und Addieren zu anderen Zeilen auf der linken Seite wieder das Schema einer Diagonalmatrix erreicht. Schließlich wird durch das Normalisieren aller Zeilen auf die Diagonalkoeffizienten erreicht, dass die Einheitsmatrix auf der linken Seite des Schemas erscheint:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } {a_{11}^*}&0&{...}&0 \\ 0&{a_{22}^*}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{a_{IK}^*} \end{array} } \right|\left. {\begin{array} {*{20}{c} }{ {b_{11} } }&{ {b_{12} } }&{...}&{ {b_{1K} } } \\ { {b_{21} } }&{ {b_{22} } }&{...}&{ {b_{2K} } } \\ {...}&{...}&{ {b_{ik} } }&{...} \\ { {b_{I1} } }&{ {b_{I2} } }&{...}&{ {b_{IK} } } \end{array} } \right| \) Gl. 201

Die gefundenen bik sind die Koeffizienten der gesuchten Kehrwertmatrix.

Beispiel:

Gesucht ist die zur Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right)\) inverse Matrix.

GJ-Schema:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right|\)

Eliminationsschritte:

Z1=Z1+7*Z2, Z3=Z3+2*Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{10}&0&{24}\\1&{ - 1}&3\\5&0&7\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&7&0\\0&1&0\\0&2&1\end{array} } \right|\)

Z2=10*Z2-Z1, Z3=2*Z3-Z1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{10}&0&{24}\\0&{ - 10}&6\\0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&7&0\\{ - 1}&3&0\\{ - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right|\)

Z1=5*Z1+12*Z3, Z2=5*Z2+3*Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{50}&0&0\\0&{ - 50}&0\\0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 7}&{ - 1}&{24}\\{ - 8}&6&6\\{ - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right|\)

Normieren:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } {50}&0&0 \\ 0&{ - 50}&0 \\ 0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} } { - 7}&{ - 1}&{24} \\ { - 8}&6&6 \\ { - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right| \) ⇒ \( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} } \right| \left. { \begin{array}{*{20}{c} } \frac{-7}{50} & \frac{-1}{50} & \frac{24}{50} \\ \frac{-8}{-50} & \frac{6}{-50} & \frac{6}{-50} \\ \frac{-1}{-10} & \frac{-3}{-10} & \frac{2}{-10} \end{array} } \right| \)

Die inverse Matrix lautet damit:

\({A^{ - 1} } = \left( { \begin{array}{*{20}{c} } \frac{-7}{50} & \frac{-1}{50} & \frac{24}{50} \\ \frac{-8}{-50} & \frac{6}{-50} & \frac{6}{-50} \\ \frac{-1}{-10} & \frac{-3}{-10} & \frac{2}{-10} \end{array} } \right) = \frac{1}{ {50} } · \left( { \begin{array}{*{20}{c} } {-7}&{-1}&{24} \\ 8&{-6}&{-6} \\ 5&{15}&{-10} \end{array} } \right) \)

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