Was sind Matrizen

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Matrizen sind eine andere Darstellungsform für lineare Gleichungssysteme. Während Determinanten Lösungen für LGS liefern, erlauben Matrizen das Rechnen mit LGS.

Vergleicht man ein lineares Gleichungssystem (siehe Gl. 61)

\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} \end{array} \) Gl. 122

mit einem Gleichungssystem zur Berechnung eines zu rotierenden Punktes

\(\begin{array}{l}I. & x' = \cos (\alpha ) \cdot x - \sin (\alpha ) \cdot y\\II. & y' = \sin (\alpha ) \cdot x + \cos (\alpha ) \cdot y\end{array}\) Gl. 123

werden gewisse Parallelitäten offenbar. Beiden Gleichungssystemen ist gemeinsam, dass die Variablen x und y in gleicher Weise mit konstanten Koeffizienten verknüpft vorliegen.

Abweichend ist aber, dass im ersten Fall konstante Glieder (c1 bzw. c2) auf der anderen Seite der Gleichungen stehen, im zweiten Fall aber sind es wiederum Variable, aber andere Variable. Hat das eine LGS (Gl. 122) das Finden eines Schnittpunktes von Geraden zum Ziel, hat das andere LGS (Gl. 123) eine Input/Output-Funktion zu erfüllen. Der Input wird durch die ursprünglichen Koordinaten eines Punktes geliefert, der über eine Verknüpfung – das LGS – zu den Koordinaten des modifizierten Punktes - dem Output - verarbeitet wird. In den angeführten Beispielen werden die Koeffizienten der Gleichungssysteme in quadratischen Matrizen angeordnet (was aber nicht Bedingung ist!).

Darüber hinaus gibt es aber auch noch andere Anwendungsbereiche für Matrizen. Beispielsweise sind die Pixel einer Schwarz/Weiß-Grafik oder mehrere Fachzensuren den jeweiligen Schülern in Form einer Matrix angeordnet: hier werden die Pixel ihren Koordinaten (Zeile – Spalte), dort die Zensuren den Schülernamen zugeordnet. In diesen Anwendungen ist die quadratische Form der Matrix eher die Ausnahme:

\( \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c} } a&b&c&d&e&f&g&h&{ Schüler/Fach}&{} \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c} } 1&2&1&4&2&2&3&1\\3&2&2&2&3&4&5&2\\3&2&1&2&4&5&2&1\\3&4&4&1&2&3&2&1\\2&3&2&3&2&4&4&2\end{array} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{*{20}{c} } {Deutsch}\\{Englisch}\\{Mathe}\\{Physik}\\{Chemie}\end{array} \end{array} \) Gl. 124

Die Bedeutung der Matrizen liegt hauptsächlich darin, dass Operationen mit ganzen Gleichungssystemen ausgeführt werden können. So können beispielsweise Bildtransformationen Rechenzeit sparend ausgeführt, große Datenmengen (Telefonie) komprimiert werden oder es werden statistische Aussagen über große Personenkreise möglich gemacht.

Determinanten hingegen werden immer mit dem Ziel der numerischen Bestimmung der Lösung eines beliebigen Gleichungssystems aufgestellt und gelöst.

Definition

Matrizen (Singular Matrix) sind rechteckförmige Anordnungen von Zahlen oder allgemeinen Bezeichnern aus I Gleichungen mit K Unbekannten.

\(A = \left( { {a_{ik} } } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{ {a_{I3} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right)\) Gl. 125

Wie auch bei Determinanten bezeichnet der Index i die Zeile und der Index k die Spalte, in der das Element aik zu finden ist. Im Unterschied zu den Determinanten dürfen Matrizen unterschiedliche Zeilen- und Spaltenzahlen aufweisen.

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