Vektoren - Einführung und Definition
Einführung: Vektor
Bei der Beschreibung von Naturvorgängen mit mathematischen Mitteln ist zu erkennen, dass es ungerichtete Größen und gerichtete Größen gibt. Die Werte ungerichteter Größen wie Energie, Leistung, Gewicht, Masse, Zeit, Temperatur können auf einer Skala angeordnet werden und sind durch nur eine Angabe (z.B. 13° C) vollständig beschrieben. Sie werden deshalb Skalare genannt.
Gerichtete Größen wie Kraft, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung hingegen unterscheiden sich nicht nur in ihrem Wert (Betrag) voneinander, sondern auch noch in ihrer Richtung. Diese Größen werden Vektoren genannt (Abbildung 31).
Abbildung 32 zeigt zwei Kräfte F1 und F2, die beide in einem gemeinsamen Punkt P angreifen, aber unterschiedlich stark sind und in unterschiedliche Richtung weisen. Aus der Alltagserfahrung weiß man, dass sich beide Kräfte verstärken (oder auch abschwächen), je nach dem wie die Kräfte gerichtet sind.
Um die aus beiden Teilkräften resultierende Kraft ermitteln zu können, werden die Kraftvektoren so durch Parallelverschiebung eines der beiden Vektoren so angeordnet, dass der Endpunkt des nicht verschobenen Vektors zum Anfangspunkt des verschobenen Vektors wird. Die Resultante ergibt sich dann einfach durch eine neue Verbindung, die jetzt vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors gezogen wird. Diese Methode ist allerdings auf eine grafische Vorgehensweise orientiert und daher eher für eine gute Vorstellung als für eine exakte Berechnungen geeignet.
Aus der Anschauung folgt aber auch, dass die beiden Vektoren in Komponenten zerlegt werden können, die einem orthogonalen System (z.B. dem Kartesischen Koordinatensystem) zuzuordnen sind. Werden nun die Komponenten beider Vektoren immer nur einer Richtung miteinander verknüpft, wird der Endpunkt der Resultierenden durch Addition genau der orthogonalen Richtungskomponenten berechnet. Damit kann die Resultierende auch numerisch exakt ermittelt werden.
Definition: Vektor
Vektoren sind gerichtete Größen, die in Betrag und Richtung (vorzeichenbehaftet) bestimmt sind. Sie werden durch Pfeile im Raum dargestellt. Die Länge des Pfeiles ist dabei proportional dem Betrag des dargestellten Vektors. Darüber hinaus sind Vektoren frei im Raum verschieblich, so dass Vektoren aneinander angefügt werden können. Das Vorzeichen der Richtung wird auch Orientierung genannt.
Prinzipiell ist die Dimensionalität eines Raumes, in dem Vektoren dargestellt werden, unbegrenzt. Im Folgenden sollen jedoch nur Vektoren mit bis zu drei Dimensionen betrachtet werden. Alle abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten gelten uneingeschränkt auch für höhere Dimensionen.
Im dreidimensionalen Raum bekommen die drei orthogonalen Grundrichtungen sog. Grundvektoren zugeordnet. Sie haben jeweils den Betrag 1 und weisen in die Richtung je einer Koordinate des Koordinatensystems (Abbildung 33).
Für die x-Achse wird dieser Grundvektor i, für die y-Achse j und für die z-Achse k genannt.