Abstand Punkt-Gerade

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Der kürzeste Abstand zwischen Geraden und einem Punkt R ist durch einen senkrecht auf der Gerade stehenden Vektor, den Normalenvektor bestimmt. Mit der Geradengleichung in Parameterform

\( \vec p = \lambda \cdot \vec e + {\vec p_0} \) Gl. 345

und dem Vektor, der den Punkt R beschreibt, dessen Abstand zur Geraden bestimmt werden soll, ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die Abstandsberechnung.

Nach Abbildung 48 gilt

\(\vec r - \vec p = \vec n \) Gl. 346

Mit Gl. 345 ergibt sich Gl. 346 zu

\( \vec r - \left( {\lambda \cdot \vec e + { {\vec p}_0} } \right) = \vec n \) Gl. 347

Abbildung 48 Kürzeste Abstand zwischen Gerade und Punkt (Normalenvektor)
Abbildung 48: Kürzeste Abstand zwischen Gerade und Punkt (Normalenvektor)

Da der Vektor \(\vec n\) senkrecht auf \(\vec e\)steht, muss das Skalarprodukt aus beiden Vektoren verschwinden:

\( \vec n \cdot \vec e = \left( {\vec r - \left( {\lambda · \vec e + { {\vec p}_0} } \right)} \right) \cdot \vec e = 0 \) Gl. 348

Ausmultiplizieren und ordnen:

\( \vec r \cdot \vec e = \lambda \cdot \vec e \cdot \vec e + {\vec p_0} \cdot \vec e = \lambda \cdot {\left| {\vec e} \right|^2} + {\vec p_0} \cdot \vec e = \lambda \cdot 1 + {\vec p_0} \cdot \vec e \) Gl. 349

und nach l auflösen:

\( \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e = \lambda \) Gl. 350

Damit kann die Unbekannte l aus Gl. 347 eliminiert werden und der Abstand ergibt sich zu:

\( d = \left| {\vec n} \right| = \left| {\vec r - { {\vec p}_0} - \left( {\left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e} \right) \cdot \vec e} \right| \) Gl. 351

ACHTUNG! Reihenfolge bei der Skalarmultiplikation beachten – das Produkt \( \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e \) liefert einen Skalar!

Beispiel:

Gegeben sind zwei Punkte P1(0,0,0) und P2(5,5,0) einer Geraden und ein dritter Punkt P3(3,3,5), der außerhalb der Geraden liegt.

Gesucht ist der kürzeste Abstand von P3 zu der Geraden.

Lösung:

Mit \( \vec e = \frac{1}{ {\sqrt {25 + 25} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\sqrt {50} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) \text{ und } \left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right)\,\,\,sowie\,\,\,\,\left( {\vec r - { {\vec p}_0} } \right) \cdot \vec e = {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right)^T} \cdot \frac{1}{ {\sqrt {50} } }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right) = \frac{ {15 + 15} }{ {\sqrt {50} } } = \frac{ {30} }{ {\sqrt {50} } } \)

ergibt sich

\( d = \left| {\vec n} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \frac{ {30} }{ {\sqrt {50} } } \cdot \frac{1}{ {\sqrt {50} } } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right)} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \frac{3}{5}\left( {\begin{array}{*{20}{c} }5\\5\\0\end{array} } \right)} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\5\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3\\3\\0\end{array} } \right)} \right| = 5 \)

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