Orthogonale Matrizen
Sind S1 und S2 Spaltenvektoren, für die
\({S_1}^{\,T} \cdot {S_2} = 0\) Gl. 168
gilt, dann sind S1 und S2 zueinander orthogonal. (Die Bezeichnung orthogonal (rechtwinklig) rührt aus der Vektorrechnung. Sie gilt für das Skalarprodukt von rechtwinklig zueinander orientierte Vektoren.)
Beispiel:
Gegeben sind \({S_1} = \left( {\begin{array}{cc}1\\1\end{array} } \right)\)und \({S_2} = \left( {\begin{array}{cc}1\\{ - 1}\end{array} } \right)\). Das Produkt ergibt
\({S_1}^{\,T} \cdot {S_2} = \left( {\begin{array}{cc}1&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}1\\{ - 1}\end{array} } \right) = 1 - 1 = 0\)
Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn
\({A^T} \cdot A = \lambda \cdot I\) Gl. 169
gilt.
Nach Gl. 168 bedeutet dies, dass alle Spalten(vektoren), aus denen die Matrix A besteht, orthogonal zueinander sind. Der Faktor l kann als eine Normierungsgröße verstanden werden.
Beispiel:
Gegeben ist \(A = \left( {\begin{array}{cc}1&{ - 2}\\2&1\end{array} } \right)\). Das Produkt ergibt
\({A^{\,T} } \cdot A = \left( {\begin{array}{cc}1&2\\{ - 2}&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}1&{ - 2}\\2&1\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}5&0\\0&5\end{array} } \right) = 5 \cdot \left( {\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array} } \right)\)