Orthogonale Matrizen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Sind S1 und S2 Spaltenvektoren, für die

\({S_1}^{\,T} \cdot {S_2} = 0\) Gl. 168

gilt, dann sind S1 und S2 zueinander orthogonal. (Die Bezeichnung orthogonal (rechtwinklig) rührt aus der Vektorrechnung. Sie gilt für das Skalarprodukt von rechtwinklig zueinander orientierte Vektoren.)

Beispiel:

Gegeben sind \({S_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\1\end{array} } \right)\)und \({S_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{ - 1}\end{array} } \right)\). Das Produkt ergibt

\({S_1}^{\,T} \cdot {S_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{ - 1}\end{array} } \right) = 1 - 1 = 0\)

Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn

\({A^T} \cdot A = \lambda \cdot I\) Gl. 169

gilt.

Nach Gl. 168 bedeutet dies, dass alle Spalten(vektoren), aus denen die Matrix A besteht, orthogonal zueinander sind. Der Faktor l kann als eine Normierungsgröße verstanden werden.

Beispiel:

Gegeben ist \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}\\2&1\end{array} } \right)\). Das Produkt ergibt

\({A^{\,T} } \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&2\\{ - 2}&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}\\2&1\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }5&0\\0&5\end{array} } \right) = 5 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0\\0&1\end{array} } \right)\)

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