Zeilenvektor mal Spaltenvektor

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1} }&{ {y_2} }&{ {y_3} }&{...}&{ {y_K} }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }\\{ {x_2} }\\{ {x_3} }\\{...}\\{ {x_K} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1} }&{ {y_2} }&{ {y_3} }&{...}&{ {y_K} }\\0&0&0&{...}&0\\0&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&0&0\\0&0&0&{...}&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }&0&0&{...}&0\\{ {x_2} }&0&0&{...}&0\\{ {x_3} }&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&0&{...}\\{ {x_K} }&0&0&{...}&0\end{array} } \right) \) Gl. 159

Zur Ausführung der Multiplikation werden die Vektoren durch Auffüllen mit Nullen zu Matrizen geformt.

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1} }&{ {y_2} }&{ {y_3} }&{...}&{ {y_K} }\\0&0&0&{...}&0\\0&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&0&0\\0&0&0&{...}&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }&0&0&{...}&0\\{ {x_2} }&0&0&{...}&0\\{ {x_3} }&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&0&{...}\\{ {x_K} }&0&0&{...}&0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1}{x_1} + {y_2}{x_2} + {y_3}{x_3} + \,...\, + {y_K}{x_K} }&0&0&{...}&0\\0&0&0&{...}&0\\0&0&0&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&0&{...}&0\end{array} } \right) \) Gl. 160

Alle nullwertigen Zeilen bzw. Spalten dürfen gestrichen werden und es bleibt nur das erste Element der Matrix als einzelner Wert erhalten:

\( \left( { {y_1}{x_1} + {y_2}{x_2} + {y_3}{x_3} + \,...\, + {y_K}{x_K} } \right) = \sum\limits_{k = 1}^K { {y_k}{x_K} } \) Gl. 161

Das Ergebnis ist ein Skalar.

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